Toán chứng minh bất đẳng thức

[vuongthanh6a]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b là các số thực dương. CMR
[tex](a+b)^2 + \dfrac{a+b}2 \geq 2a\sqrt{b} + 2b\sqrt{a}[/tex]

 

[iceghost]

Ta có $a+b \overset{\text{AM-GM}}{\geqslant} 2\sqrt{ab}$
và $a+b + \dfrac12 \geqslant \sqrt{a} + \sqrt{b} \iff (\sqrt{a} - \dfrac12)^2 + (\sqrt{b}-\dfrac12)^2 \geqslant 0$ (luôn đúng)
$\implies (a+b)(a+b+\dfrac12) \geqslant 2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$
$\iff$ đpcm
Dấu '=' xảy ra $\iff a = b = \dfrac14$