Chứng minh bất đẳng thức

[pl09]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a,b,c >0$ . Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge \dfrac{a^{2}+2b^{2}}{a^{3}+2b^{3}}+\dfrac{b^{2}+2c^{2}}{b^{3}+2c^{3}}+\dfrac{c^{2}+2a^{2}}{c^{3}+2a^{3}}$

 

[huynhbachkhoa23]

Dễ dàng chứng minh được:
$3(a^3+2b^3)\ge (a+2b)(a^2+2b^2)$
$3(b^3+2c^3)\ge (b+2c)(b^2+2c^2)$
$3(c^3+2a^3)\ge (a+2c)(a^2+2c^2)$
Do đó $VP \le \dfrac{3}{a+2b}+\dfrac{3}{b+2c}+\dfrac{3}{c+2a}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$VT=\sum \left(\dfrac{1}{3a}+\dfrac{1}{3b}+\dfrac{1}{3b} \right) \ge \sum \dfrac{9}{3a+3b+3b}=\dfrac{3}{a+2b}+\dfrac{3}{b+2c}+\dfrac{3}{c+2a}$
Ta có điều cần chứng minh.