chứng minh bất đẳng thức

[hoangkhanh239239]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c \leq 3 CMR
[TEX]\frac{1}{a^2 + b^2 +c^2}+\frac{2009}{ab+bc+ca}\geq 670[/TEX]
2.Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] va có tổng không vượt quá 5 CMR
[TEX]x^2 + y^2 +z^2 \leq 9[/TEX]
3. cho a,b,c là các số thuộc [-1;2] thỏa mãn điều kiện [TEX]a^2 + b^2 +c^2=6[/TEX]
CMR [TEX]a +b +c \geq 0[/TEX]
3. Cho độ dài 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 6 CMR [TEX]3(a^2 + b^2 +c^2)[/TEX] + 2abc \geq 52

 

[eye_smile]

1,$VT=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+ \dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{2007}{ab+bc+ca}\ge \dfrac{9}{(a+b+c)^2}+\dfrac{2007}{\dfrac{(a+b+c)^2}{3}}=670$

 

[eye_smile]

2,$(x-1)(x-2) \le 0$

\Leftrightarrow $x^2 \le 3x-2$

TT,có: $y^2 \le 3y-2$

$z^2 \le 3z-2$

\Rightarrow $x^2+y^2+z^2 \le 3(x+y+z)-6 \le 3.5-6=9$

3,$(a+1)(a-2) \le 0$

\Leftrightarrow $a^2 \le a+2$

TT,có: $b^2 \le b+2$

$c^2 \le c+2$

\Rightarrow $6=a^2+b^2+c^2 \le a+b+c+6$

\Rightarrow $a+b+b \ge 0$

 

[eye_smile]

$\sqrt[3]{(3-a)(3-b)(3-c)}\le \dfrac{9-a-b-c}{3}=1$

\Leftrightarrow $(3-a)(3-b)(3-c) \le 1$

\Leftrightarrow $27-9(a+b+c)+3(ab+bc+ca)-abc\le $

\Leftrightarrow $-6(ab+bc+ca)+2abc\ge -56$

\Leftrightarrow $-6(ab+bc+ca)+3(a+b+c)^2+2abc\ge 52$

\Leftrightarrow $3(a^2+b^2+c^2)+2abc\ge 52$

 

[huynhbachkhoa23]

Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác nên $a<b+c=6-a\to a<3$
$$3(b^2+c^2)-\dfrac{3(b+c)^2}{2}+2abc-\dfrac{a(b+c)^2}{2}=\dfrac{(3-a)(b-c)^2}{2}\ge 0$$
Vì thế nên ta chỉ cần chứng minh khi $b=c$
$$3a^2+6b^2+2ab^2=2(b-2)^2(7-2b)+52 \ge 52$$