Chứng minh bất đẳng thức

[thuytrangnbk20]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Chứng minh:

$\dfrac{1}{1+a^2}$ + $\dfrac{1}{1+b^2}$ \geq $\dfrac{2}{1+ab}$ (a,b >1)

2) Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c. P là nửa chu vi. Ch/m:

$\dfrac{abc}{8}$ \geq (p-a)(p-b)(p-c)

3) Cho 4 số dương a, b, c, d. Ch/m:

1< $\dfrac{a}{a+b+c}$ + $\dfrac{b}{a+b+d}$ + $\dfrac{c}{c+d+a}$ + $\dfrac{c}{d+a+b}$ <2

 

[eye_smile]

1.
BĐT \Leftrightarrow $(2+a^2+b^2)(1+ab) \ge 2(1+a^2)(1+b^2)$

\Leftrightarrow $2+2ab+a^2+a^3b+ab^3+a^2+b^2 \ge 2+2a^2+2b^2+2a^2b^2$

\Leftrightarrow $2ab+a^3b+ab^3-a^2-b^2-2a^2b^2 \ge 0$

\Leftrightarrow $2ab(1-ab)+(a^2+b^2)(ab-1) \ge 0$

\Leftrightarrow $(ab-1)(a^2+b^2-2ab) \ge 0$

\Leftrightarrow $(ab-1)(a-b)^2 \ge 0$ (luôn đúng với a;b>1)

 

[maytrang154]

Mình làm cái bài cuối
[TEX]\frac{1}{1+a^2}[/TEX][TEX]{+}[/TEX][TEX]\frac{1}{1+b^2}[/TEX]\geq[TEX]\frac{2}{1+ab}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](\frac{1}{1+a^2}{-}\frac{1}{1+ab})[/TEX][TEX]{+}[/TEX][TEX](\frac{1}{1+b^2}{-}\frac{1}{1+ab})[/TEX]\geq[TEX]{0}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\frac{a(b-a)}{(1+a^2)(1+ab)}[/TEX][TEX]{+}[/TEX][TEX]\frac{b(a-b)}{(1+b^2)(1+ab)}[/TEX]\geq[TEX]{0}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\frac{(a-b)^2(ab-1)}{(1+a^2)(1+b^2)(1+ab)[/TEX]\geq[TEX]{0}[/TEX](Bất Đẳng thức đúng vì [TEX]{a;b}[/TEX][TEX]{>1}[/TEX]\Rightarrow[TEX]{ab>1}[/TEX]\Rightarrow đpcm......
Nếu đúng thì xác nhận dùm mình.

 

[eye_smile]

2,BĐT \Leftrightarrow $abc \ge 8(p-a)(p-b)(p-c)$

\Leftrightarrow $abc \ge 8.\dfrac{2p-2a}{2}.\dfrac{2p-2b}{2}.\dfrac{2p-2c}{2}$

\Leftrightarrow $abc \ge (b+c-a)(a+b-c)(a+c-b)$

Ta có:

$\sqrt{(b+c-a)(a+b-c)} \le \dfrac{b+c-a+a+b-c}{2}=b$

Tương tự nhân theo vế \Rightarrow đpcm

 

[eye_smile]

3.Đề bạn đánh nhầm chỗ nào đó.

Sửa lại đề nhé bạn

 

[thuytrangnbk20]

À, mình nhầm, bài đó mình giải được rùi, cảm ơn bạn đã giải bài giúp mình