Chứng minh bất đẳng thức

[tysne3000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giả sử n là một số tự nhiên khác 0. chứng minh:
[TEX]\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt[2]{2}}+\frac{1}{4\sqrt[2]{3}}+ ...+ \frac{1}{(n+1)\sqrt[2]{n}} > 2 [/TEX]

 

[kisihoangtoc]

Đề phải là chứng minh bé hơn chứ bạn, sao lại là lớn hơn được
Xét số hạng tổng quát:
$\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}}=\frac{\sqrt{k}}{k(k+1)}= \sqrt{k} (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$
$=\sqrt{k}(\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}})(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})$
$<\sqrt{k}.\frac{2}{\sqrt{k}}(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})$
$=2(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+ ...+ \frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}$
$<2(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$
$=2(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}})<2$

 

[huuthuyenrop2]

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+....+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}$
< $2 ( 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}) $
$= 2( 1-\frac{1}{n+1}) <2$