Chưng minh bất đẳng thức

[fanstungmtp]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho bốn số a,b,c,d $ \in $ R thỏa mãn a+b+c+d=1 .
Chứng minh : $ \dfrac{a^2}{a+b} $ + $ \dfrac{b^2}{b+c} $ + $ \dfrac{c^2}{c+d} $ + $ \dfrac{d^2}{d+a} $ \geq $ \dfrac{1}{2} $
Bài 2: Chứng minh $ \frac{a^2 + 2}{\sqrt{a^2 + 1}} $ \geq 2

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:

Đề phải là 4 số dương.

Cách 1:
Áp dụng BDT Cauchy:

$\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{a+b}{4} \ge a$

Tương tự rồi cộng lại được: $VT \ge \dfrac{a+b+c+d}{2}=\dfrac{1}{2}$

Cách 2:
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz:

$VT \ge \dfrac{(a+b+c+d)^2}{2(a+b+c+d)}=\dfrac{1}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=\dfrac{1}{4}$

Bài 2:

$t=\sqrt{a^2+1} \ge 1$

$VT=\dfrac{t^2+1}{t} \ge \dfrac{2t}{t} = 2$

Đẳng thức xảy ra khi $a=0$