chứng minh bất đẳng thức

[manhnguyen0164]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho $0\le a;b;c\le1$. Chứng minh:
$\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1} \le 2$

2. Cho $a\ne b;b\ne c; c\ne a$. Chứng minh
$\dfrac{ab}{(a-b)^2}+\dfrac{bc}{(b-c)^2}+\dfrac{ca}{(c-a)^2}\ge\dfrac{-1}{4}$
CHú ý tiêu đề

 

[kisihoangtoc]

bài 2

Ta chứng minh [TEX]\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} + \frac{(b+c)^2}{(b-c)^2} + \frac{(c+a)^2}{(c-a)^2} \geq 2[/TEX]
Đặt [TEX]\frac{a+b}{a-b} = x; \frac{b+c}{b-c} = y; \frac{c-a}{c+a} = z[/TEX]
Ta có [TEX](x+1)(y+1)(z+1) = (x-1)(y-1)(z-1)\Leftrightarrow xy + yz + zx = -1[/TEX]
Mà[TEX](x+y+z)^2 \geq 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 \geq -2(xy + yz + zx) = 2[/TEX]
Đặt [TEX]A = \frac{ab}{(a-b)^2} + \frac{bc}{(b-c)^2} + \frac{ca}{(c-a)^2}[/TEX]
Ta có [TEX]4A + 3 = \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} + \frac{(b+c)^2}{(b-c)^2} + \frac{(c+a)^2}{(c-a)^2} \geq 2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A \geq \frac{-1}{4}[/TEX](đpcm)

 

[kisihoangtoc]

bài 1

Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]a \geq b \geq c[/TEX]
[TEX]\frac{b}{ac+1} + \frac{c}{ab+1} \leq \frac{b}{bc+1} + \frac{b}{bc +1}=\frac{b+c}{bc+1}[/TEX](1)
Mà [TEX]0 \leq b,c \leq 1[/TEX][TEX]\Rightarrow(1-b)(1-c)\geq0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow bc+1 \geq b+c\Rightarrow\frac{b+c}{bc+1}\leq1[/TEX](2)
Do [TEX]0 \leq a,b,c \leq 1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a \leq 1\leq bc+1 \Rightarrow \frac{a}{bc+1}\leq1[/TEX](3)
[TEX](1)(2)(3) \Rightarrow [/TEX]đpcm
Dấu = xảy ra [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] có 1 số = 0 và 2 số còn lại = 1

 

[trinhminh18]

Vì a,b,c có vai trò bình đẳng nên giả sử a\geqb\geqc ta có:
+ Nếu c=0 \Rightarrow $\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}=a+b$\leq2
+ Nếu c>0 \Rightarrow $(1-a)(1-c)$ \geq0 \Rightarrow $1+ac$\geqa+c>0
\Rightarrow$\dfrac{1}{ca+1}$\leq$\dfrac{1}{a+c}\le\dfrac{1}{b+c}$
\Rightarrow$\dfrac{b}{ca+1}$\leq$\dfrac{b}{a+c}\le\dfrac{b}{b+c}$
tương tự $\dfrac{c}{ba+1}$\leq$\dfrac{c}{a+b}$\leq$\dfrac{c}{b+c}$
Mà $\dfrac{a}{cb+1}$\leqa\leq1
\Rightarrow $\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}$<$1+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}=2$