Chứng minh bất đẳng thức

[tieuthumyvan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho ba số: a,b,c >0 và [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]
Chứng minh rằng: [TEX]\frac{a}{b^2+c^2}+[/TEX] [TEX]\frac{b}{a^2+c^2}+[/TEX] [TEX]\frac{c}{a^2+b^2}[/TEX] \geq [TEX]\frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]

Bài 2: Cho x,y thỏa mãn: [TEX]x^2+xy+y^2 \leq 3[/TEX]
Chứng minh rằng: [TEX] -4\sqrt{3} - 3 [/TEX][TEX]\leq[/TEX] [TEX]x^2 - xy - 3y^2[/TEX] [TEX]\leq 4\sqrt{3} - 3[/TEX]

Mong các bạn giúp đỡ @};-@};-@};-

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:

Từ đề suy ra $a,b,c\in (0;1)$

$VT=\sum \dfrac{a^2}{a(1-a^2)}$

Khảo sát hàm $f(x)=-x^3+x$ trên $(0;1)$

$f'(x)=-3x^2+1 = 0 \rightarrow x_0=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$f''(x_0)<0$ suy ra $f(x)$ đạt cực đại tại $x_0$.

$f(x)\le f(x_0)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Thế vào: $VT \ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}(\sum a^2)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=VP$

Bài 2: Có cách giải trong cuốn Chuyên đề ôn thi đại học phần BDT ví dụ 5 trang 95

 

[tieuthumyvan]

Bài 1:

Từ đề suy ra $a,b,c\in (0;1)$

$VT=\sum \dfrac{a^2}{a(1-a^2)}$

Khảo sát hàm $f(x)=-x^3+x$ trên $(0;1)$

$f'(x)=-3x^2+1 = 0 \rightarrow x_0=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$f''(x_0)<0$ suy ra $f(x)$ đạt cực đại tại $x_0$.

$f(x)\le f(x_0)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Thế vào: $VT \ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}(\sum a^2)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=VP$

Bài 2: Có cách giải trong cuốn Chuyên đề ôn thi đại học phần BDT ví dụ 5 trang 95

Bạn ơi! Giúp mình câu 2 được không? Mình không có cuốn đấy @@~

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2: Nói chung trong sách giải em vẫn thấy nó sao sao ý :|

Đặt $A=x^2+xy+y^2$, có $0\le A \le 3$

$T=x^2-xy-3y^2=A.\dfrac{x^2-xy-3y^2}{x^2+xy+y^2}$

Đặt $a=\dfrac{x}{y}$

Xét $y=0$ thì $0\le T \le 3$

Xét $y\ne 0$:

$T=A.\dfrac{a^2-a-3}{a^2+a+1}$

Khảo sát $f(a)=\dfrac{a^2-a-3}{a^2+a+1}$ được $\dfrac{-4\sqrt{3}-3}{3}\le f(a) \le \dfrac{4\sqrt{3}-3}{3}$

Suy ra $-4\sqrt{3}-3 \le T \le 4\sqrt{3}-3$

Em vẫn thắc mắc là tại sao lại nhân được $3$ vào trong khi $A\le 3$ :|