chứng minh bất đẳng thức!

[be_lin2001@yahoo.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) ${x^4} + {y^4} \le \dfrac{{x^6}}{{y^2}}+\dfrac{{y^6}}{{x^2}}$ voi x, y khac 0.
2) Cho a, b, c dương. CM: (ab/c) + (bc/a) + (ca/b) >= a+b+c ( ko dùng bất đẳng thức Cauchy, Bunhia, Cosi,... ai giải được giúp mình nha )
3) Cho a, b, c LÀ ĐỘ DÀI 3 Cạnh của 1 tam giác. CM: $(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) \le abc$
Cám ơn trước nha!

Chú ý CTTH.

 

[su10112000a]

1) x^4 + y^4 <= (x^6/ y^2) + (y^6/x^2) voi x, y khac 0.

ta có:
$\dfrac{x^6}{y^2}+\dfrac{x^6}{y^2}+\dfrac{x^6}{y^2}+\dfrac{y^6}{x^2} \ge 4.\sqrt[4]{\dfrac{x^{18}y^6}{x^2y^6}}$
\Leftrightarrow$\dfrac{x^6}{y^2}+\dfrac{x^6}{y^2}+\dfrac{x^6}{y^2}+\dfrac{y^6}{x^2} \ge 4.x^4$
tương tự ta có:
$\dfrac{y^6}{x^2}+\dfrac{y^6}{x^2}+\dfrac{y^6}{x^2}+\dfrac{x^6}{y^2} \ge 4.y^4$
cộng lại, ta có:
$4.(\dfrac{x^6}{y^2}+\dfrac{y^6}{x^2}) \ge 4.(x^4+y^4)$
\Rightarrow$\mathfrak{dpcm}$

 

[eye_smile]

1,BT $=\dfrac{{x^8}}{{x^2}{y^2}}+\dfrac{{y^8}}{{x^2}{y^2}} \ge \dfrac{{({x^4}+{y^4})^2}}{2{x^2}{y^2}} \ge {x^4}+{y^4}$

 

[su10112000a]

3) Cho a, b, c LÀ ĐỘ DÀI 3 Cạnh của 1 tam giác. CM: $(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) \le abc$
Cám ơn trước nha!

Chú ý CTTH.

Vì a,b ,c là 3 cạnh của tam giác nên:
$a+b-c \le 2c-c$
\Rightarrow$a+b-c \le c$
tương tự, ta có:
$a-b+c \le b$
$-a+b+c \le a$
nhân lại, ta có: $\mathfrak{dpcm}$

 

[eye_smile]

3,$(a+b-c)(b+c-a) \le {b^2}$
$(b+c-a)(c+a-b) \le {c^2}$
$(a+b-c)(c+a-b) \le {a^2}$

Nhân theo vế \Rightarrow đpcm

 

[su10112000a]

2) Cho a, b, c dương. CM: (ab/c) + (bc/a) + (ca/b) >= a+b+c ( ko dùng bất đẳng thức Cauchy, Bunhia, Cosi,... ai giải được giúp mình nha )

Theo mình thì nên áp dụng bđt Cauchy vì nếu giải bằng các bđt khác sẽ rất dài (và khó=)))
ta có:
$\sum \dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a} \ge \sum 2.b$
\Rightarrow$\mathfrak{dpcm}$

 

[be_lin2001@yahoo.com]

bạn ơi, có cách nào đơn giản hơn ko, thầy mình nói bài này giải cũng đơn giản lắm, nhưng nghĩ mãi ko ra! phiền bạn nha!

 

[be_lin2001@yahoo.com]

cho mình hỏi tý nha

ta có:
$\dfrac{x^6}{y^2}+\dfrac{x^6}{y^2}+\dfrac{x^6}{y^2}+\dfrac{y^6}{x^2} \ge 4.\sqrt[4]{\dfrac{x^{18}y^6}{x^2y^6}}$
\Leftrightarrow$\dfrac{x^6}{y^2}+\dfrac{x^6}{y^2}+\dfrac{x^6}{y^2}+\dfrac{y^6}{x^2} \ge 4.x^4$
tương tự ta có:
$\dfrac{y^6}{x^2}+\dfrac{y^6}{x^2}+\dfrac{y^6}{x^2}+\dfrac{x^6}{y^2} \ge 4.y^4$
cộng lại, ta có:
$4.(\dfrac{x^6}{y^2}+\dfrac{y^6}{x^2}) \ge 4.(x^4+y^4)$
\Rightarrow$\mathfrak{dpcm}$

bạn ơi có cách nào đơn giản hơn ko! v=phiền bạn nha

 

[be_lin2001@yahoo.com]

em cám ơn mọi người nhiều nha! từ ngày tạo ID mấy anh chị ở đây giúp đỡ nhiệt tình quá! zui zui ^^

 

[be_lin2001@yahoo.com]

thắc mắc tý nha

1,BT $=\dfrac{{x^8}}{{x^2}{y^2}}+\dfrac{{y^8}}{{x^2}{y^2}} \ge \dfrac{{({x^4}+{y^4})^2}}{2{x^2}{y^2}} \ge {x^4}+{y^4}$

bạn ơi, tại sao vế phải mẫu thành 2x^2y^2 vậy, mình nghĩ mẫu chung của vế phải lẫn trái đều là x^2y^2 chứ?

 

[su10112000a]

2) Cho a, b, c dương. CM: (ab/c) + (bc/a) + (ca/b) >= a+b+c ( ko dùng bất đẳng thức Cauchy, Bunhia, Cosi,... ai giải được giúp mình nha )

mới nghĩ ra cách mới (đúng với yêu cầu)
ta có:
$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}=\dfrac{a^2b^2}{abc}+\dfrac{b^2c^2}{abc}+\dfrac{c^2a^2}{abc}$
\Rightarrow$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b} \ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{3abc}$
\Rightarrow$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b} \ge \dfrac{a^2bc+ab^2c+abc^2}{abc}$
suy ra:$\mathfrak{dpcm}$
mod nào xác nhận đúng giùm em cái