Chứng minh bất đẳng thức

[da12]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho 2 số a, b thỏa mãn đk a + b = 1
C/m: [TEX]a^3 + b^3 + ab \geq \frac{1}{2}[/TEX]
2) Cho 2 số x, y thỏa mãn đk : x + y = 2
C/m: [TEX]x^4 + y^4 \geq 2[/TEX]
3) Cho x, y, z là số dương thỏa mãn đk x + y+z \leq 6
C/m: [TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
4) Cho 3 số dương x,y,z
C/m: [TEX]\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \geq 3[/TEX]
5) Chứng mình bất đẳng thức: [TEX]a^2 + b^2 + c^2 + \frac{3}{4} \geq -a -b-c[/TEX]
6) C/m bđt: [TEX]a^2 + b^2 + 4 \geq ab + 2(a+b)[/TEX]

 

[congchuaanhsang]

3, Cauchy-Schwarz: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$ \geq $\dfrac{9}{x+y+z}$

\geq $\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}$

2, Cauchy-Schwarz:

$x^4+y^4$\geq$\dfrac{(x^2+y^2)^2}{2}$\geq$\dfrac{(x+y)^4}{8}$=2

 

[eye_smile]

4,AD AM-GM:
$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}$ \geq $3\sqrt[3]{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{z}.\dfrac{z}{x}}=3$
Dấu"=" xảy ra \Leftrightarrow x=y=z

1,${a^3}+{b^3}+ab=(a+b)({a^2}-ab+{b^2})+ab={a^2}+{b^2}$ \geq $\dfrac{1}{2}{(a+b)^2}=\dfrac{1}{2}$
Dấu"=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=\dfrac{1}{2}$

 

[eye_smile]

5,${a^2}+{b^2}+{c^2}+\dfrac{3}{4}$ \geq $-a-b-c$
\Leftrightarrow ${a^2}+{b^2}+{c^2}+a+b+c+\dfrac{3}{4}$ \geq 0
\Leftrightarrow ${a+\dfrac{1}{2})^2}+{(b+\dfrac{1}{2})^2}+{(c+\dfrac{1}{2})^2}$ \geq 0 (lđ)

6,${a^2}+{b^2}+4$ \geq $ab+2(a+b)$
\Leftrightarrow $\dfrac{1}{2}.{(a-b)^2}+\dfrac{1}{2}.{(a-2)^2}+\dfrac{1}{2}{(b-2)^2}$ \geq 0 (lđ)