chứng minh bất đẳng thức

[nhoc_vip_qk98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng mình hộ mình cái:
cho a,b,c dương thỏa mãn:ab+bc+ac=2abc.CMR
$\frac{1}{a(2a-1)^2} + \frac{1}{b(2b-1)^2} + \frac{1}{c(2c-1)^2}$ \geq $\frac{1}{2}$

Chú ý: Gõ Latex

 

[congchuaanhsang]

Từ điều kiện đề bài suy ra $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=2$

Đặt $x=\dfrac{1}{a}$ ; $y=\dfrac{1}{b}$ ; $z=\dfrac{1}{c}$

\Rightarrow $x+y+z=2$ và x,y,z>0

$VT=\dfrac{x^3}{(y+z)^2}+\dfrac{y^3}{(x+z)^2} + \dfrac{z^3}{(x+y)^2}$

Áp dụng Cauchy 3 số ta có:

$\dfrac{x^3}{(y+z)^2}+\dfrac{y+z}{8}+\dfrac{y+z}{8}$ \geq $\dfrac{3x}{4}$

$\dfrac{y^3}{(x+z)^2}+\dfrac{x+z}{8}+\dfrac{x+z}{8}$ \geq $\dfrac{3y}{4}$

$\dfrac{z^3}{(x+y)^2}+\dfrac{x+y}{8}+\dfrac{x+y}{8}$ \geq $\dfrac{3z}{4}$

Cộng từng vế và thu gọn được

VT \geq $\dfrac{1}{4}(x+y+z)=\dfrac{1}{2}=VP$