Chứng minh bất đẳng thức

[quylua224]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh BĐT :
a, $a^4 + b^4 + c^4$ \geq abc(a+b+c)
b, $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2$ \geq ab + ac + ad + ae
c, $x^2 + y^2 + z^2$ \geq 3 với x + y + z + xy + yz + xz = 6
d, $\frac{a^2}{3} + b62 + c^2$ > ab + ac + bc với $a^3$ > 36 và abc = 1

 

[baochauhn1999]

Câu a:
Xét bổ đề:
$x^2+y^2+z^2$\geq$xy+yz+xz$
$<=>2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz0$\geq$0$
$<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$\geq$0$ luôn đúng
Áp dụng bổ đề:
$a^4+b^4+c^4$\geq$a^2.b^2+b^2.c^2+c^2.a^2$\geq$a^2.bc+ac.b^2+ab.c^2=abc(a+b+c)$ đpcm

 

[baochauhn1999]

Câu b:
$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2$\geq$ab+ac+ad+ae$
$<=>4(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2)-4(ab+ac+ad+ae)$\geq$0$
$<=>(a^2-4ab+4b^2)+(a^2-4ac+4c^2)+(a^2-4ad+4d^2)+(a^2-4ae+4e^2)$\geq$0$
$<=>(a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+(a-2e)^2$\geq$0$ luôn đúng $=>đpcm$

 

[baochauhn1999]

Câu c:
Xét bổ đề 1:
$3(x^2+y^2+z^2)$\geq$(x+y+z)^2$
$<=>2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)$\geq$0$
$<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$\geq$0$ luôn đúng
$<=>x+y+z$\leq$\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$
Xét bổ đề 2:
$x^2+y^2+z^2$\geq$xy+yz+xz$ đã chứng minh ở phần a
Cộng theo vế và rút gọn ta có đpcm