chứng minh bất đẳng thức

[minh1910]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $p^3+q^3$=2. chứng minh rằng 0<p+q \leq2



Chú ý tiêu đề

 

[congchuaanhsang]

$p^3+q^3=2$\Leftrightarrow$(p+q)(p^2-pq+q^2)=2$\Rightarrow$p+q$>0

Ta có $p^3+q^3$\geq$pq(p+q)$\Leftrightarrow$4(p^3+q^3)$ \geq $(p+q)^3$

\Leftrightarrow$p+q$\leq2

 

[congchuaanhsang]

$p^3+q^3=2$\Leftrightarrow$(p+q)(p^2-pq+q^2)=2$\Rightarrow$p+q$>0

Ta có $p^3+q^3$\geq$pq(p+q)$\Leftrightarrow$4(p^3+q^3)$ \geq $(p+q)^3$

\Leftrightarrow$p+q$\leq2

Nhận thấy $p+q$ và $p^2-pq+q^2$ phải khác 0

Do $p^2-pq+q^2$=$(p-\dfrac{q}{2})^2+\dfrac{3q^2}{4}$>0

\Rightarrow$p+q$>0

Xét hiệu $p^3+q^3-pq(p+q)=p^3+q^3-p^2q+pq^2=(p^2-q^2)(p-q)=(p-q)^2(p+q)$\geq0 (do $p+q$>0)

\Leftrightarrow$p^3+q^3$\geq$pq(p+q)$ \Leftrightarrow $3(p^3+q^3)$\geq$3pq(p+q)$

\Leftrightarrow$4(p^3+q^3)$\geq$p^3+3pq(p+q)+q^3=(p+q)^3$

\Rightarrow.....................................