Chứng minh bất đẳng thức ?

[trungthinh.99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:

$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}} + \sqrt{\dfrac{b}{c+a}} + \sqrt{\dfrac{c}{a+b}} > 2$

Câu 2: cho a,b,c $\epsilon$ [1;2]. Chứng minh rằng:

$(a+b+c)$$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ \leq 10


Câu 3: cho a,b > 1. Chứng minh rằng:

$\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}$ \geq 8

Câu 4: Chứng minh rằng:

${(a+b+c+d)^2}$ \geq $\dfrac{8}{3}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$

 

[eye_smile]

1,Tham khảo tại đây:
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=347059

 

[baochauhn1999]

Câu 4:
$(a+b+c+d)^2$\geq$\frac{8}{3}(ab+bc+ac+ad+bd+cd)$
$<=>3(a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2bc+2bd+2cd+2ad+2ac)$\geq$8(ab+bc+cd+ad+ac+bd)$
$<=>3(a^2+b^2+c^2+d^2)-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$\geq$0$
$<=>(a-b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(b-d)^2$\geq$0$
BĐT luôn đúng
$=>$ĐPCM

 

[eye_smile]

3,$\dfrac{{a^2}}{b-1}+\dfrac{{b^2}}{a-1}$ \geq $2\sqrt{\dfrac{{a^2}}{b-1}.\dfrac{{b^2}}{a-1}}=2\sqrt{\dfrac{{a^2}}{a-1}.\dfrac{{b^2}}{b-1}}$
Ta có: $a=a-1+1$ \geq $2\sqrt{a-1}$
\Leftrightarrow ${a^2}$ \geq $4(a-1)$
\Leftrightarrow $\dfrac{{a^2}}{a-1}$ \geq 4
TT, $\dfrac{{b^2}}{b-1}$ \geq 4
\Rightarrow đpcm

 

[congchuaanhsang]

Còn mỗi bài 2 chưa ai làm

Không mất tính tổng quát giả sử 1\leqa\leqb\leqc\leq2

Thì 2\leq2a\leq2b\leq2c nên a\leqc\leq2\leq2a\leq2c

Xét $(a+b+c)(ab+bc+ca)-10abc$=$(a+c)[b(a+c)+ca]+b[b(a+c)+ca]-10abc$

=$b(a+c)^2+ac(a+c)+b^2(a+c)-9abc=ac(a+c)+b^2(a+c)-b(a+c)^2+2b(a+c)^2-9abc$

=$(a+c)(ac+b^2-ba-bc)+b(2a^2+2c^2-5ac)=(a+c)(b-a)(b-c)+b(2a-c)(a-2c)$\leq0

Từ đó ta có đpcm

 

[congchuaanhsang]

Cách khác bài 2 tuy hơi dài

Bất đẳng thức phụ:

i, $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}$\leq4,5

ii, $\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}$\leq2,5

với mọi a,b,c $\in$ [1;2]

VT= $3+(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b})+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a})$

\leq$3+4,5+2,5=10$ (theo i và ii)

 

[hien_vuthithanh]

bải 3

3,$\dfrac{{a^2}}{b-1}+\dfrac{{b^2}}{a-1}$ \geq $2\sqrt{\dfrac{{a^2}}{b-1}.\dfrac{{b^2}}{a-1}}=2\sqrt{\dfrac{{a^2}}{a-1}.\dfrac{{b^2}}{b-1}}$
Ta có: $a=a-1+1$ \geq $2\sqrt{a-1}$
\Leftrightarrow ${a^2}$ \geq $4(a-1)$
\Leftrightarrow $\dfrac{{a^2}}{a-1}$ \geq 4
TT, $\dfrac{{b^2}}{b-1}$ \geq 4
\Rightarrow đpcm

cách của tớ là :
$\dfrac{a^2}{b-1}+4(b-1)$ \geq 2$\sqrt{4a^2}$=4a
Tương tự \Rightarrow $\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}+4(a-1)+4(b-1)$\geq 4a+4b
\Rightarrow $\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}$ \geq 8

 

[congchuaanhsang]

3,$\dfrac{{a^2}}{b-1}+\dfrac{{b^2}}{a-1}$ \geq $2\sqrt{\dfrac{{a^2}}{b-1}.\dfrac{{b^2}}{a-1}}=2\sqrt{\dfrac{{a^2}}{a-1}.\dfrac{{b^2}}{b-1}}$=$2\dfrac{a}{\sqrt{a-1}}.\dfrac{b}{\sqrt{b-1}}$

Cauchy $\dfrac{a}{\sqrt{a-1}}=\dfrac{a}{\sqrt{1(a-1)}}$\geq2

Tương tự $\dfrac{b}{\sqrt{b-1}}$\geq2

\Rightarrowđpcm