chứng minh bất đẳng thức

[hieunguyenhoang1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn BĐT :

$9(\dfrac{1}{a^2+2} + \dfrac{1}{b^2+2} + \dfrac{1}{c^2+2} ) \ge 2(a^2 + b^2 + c^2 ) + 3$

CMR : $a + b + c \le 3$

 

[braga]

Theo $Cauchy-Schwarz$ thì:
$$VT\ge 9.\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+6}\ge 2(a^2+b^2+c^2)+3$$
Đặt $a^2+b^2+c^2=x$, ta đưa về giải bpt:
$$\dfrac{81}{x+6}\ge 2x+3\iff (2x+3)(x+6)\le 81\iff (x-3)\left(x+\dfrac{21}{2}\right)\le 0 \iff -\dfrac{21}{2}\le x\le 3$$
$\implies a^2+b^2+c^2\le 3$ mà $(a+b+c)^2\le 3(a^2+b^2+c^2)=9\implies a+b+c\le 3$

 

[hieunguyenhoang1]

Theo $Cauchy-Schwarz$ thì:
$$VT\ge 9.\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+6}\ge 2(a^2+b^2+c^2)+3$$

CÓ CHẮC LÀ $$VT\ge 9.\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+6}\ge 2(a^2+b^2+c^2)+3$$

TẠI SAO LẠI CÓ CHUYỆN NÀY VẬY ? BẠN CÓ THỂ GIẢI THÍCH THÊM KHÔNG

 

[braga]

Thì theo $Cauchy-Schwarz$ thì:
$$\dfrac{1}{a^2+2}+\dfrac{1}{b^2+2}+\dfrac{1}{c^2+2}\ge \dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+6}$$
Nhân 9 nữa vào là xong

 

[soicon_boy_9x]

Thì theo $Cauchy-Schwarz$ thì:
$$\dfrac{1}{a^2+2}+\dfrac{1}{b^2+2}+\dfrac{1}{c^2+2}\ge \dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+6}$$
Nhân 9 nữa vào là xong

$$\dfrac{1}{a^2+2}+\dfrac{1}{b^2+2}+\dfrac{1}{c^2+2}\ge \dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+6}$$

Và $$\dfrac{1}{a^2+2}+\dfrac{1}{b^2+2}+\dfrac{1}{c^2+2}\ge
\dfrac{2a^2+2b^2+2c^2+3}{9}$$

Chắc gì $\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+6} \geq
\dfrac{2a^2+2b^2+2c^2+3}{9}$



@braga: ờ nhầm -_-

 

[congchuaanhsang]

Loằng xì ngoằng gớm

Nhân 2 cả 2 vế của bđt

Đưa $\dfrac{2}{a^2+2}=1-\dfrac{a^2}{a^2+2}$

Cauchy - Schwarz ....................................

 

[hieunguyenhoang1]

congchuaanhsang cậu có thể nêu rõ hơn về cách giải của mình được không