Chứng minh bất đằng thức`

[vananhharixinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: [TEX]a+b+c=2005[/TEX], chứng minh rằng:
[TEX](2005+a)(2005+b)(2005+c)\geq8(2005-a)(2005-b)(2005-c)[/TEX]

 

[eye_smile]

Thay $2005=a+b+c$ vào BĐT, được:
$(2a+b+c)(2b+c+a)(2c+a+b)$ \geq $8(a+b)(b+c)(c+a)$
C/M:
AD AM-GM. được:
$(a+b)(b+c)$ \leq ${(\dfrac{a+2b+c}{2})^2}$
$(b+c)(c+a)$ \leq ${(\dfrac{a+b+2c}{2})^2}$
$(a+b)(c+a)$ \leq ${(\dfrac{2a+b+c}{2})^2}$
Nhân theo vế, ta được:
${[(a+b)(b+c)(c+a)]^2}$ \leq ${(\dfrac{(2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)}{8})^2}$
\Leftrightarrow $8(a+b)(b+c)(c+a)$ \leq $(2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow ...........................................