Chứng minh bất đẳng thức

[hoang2821998]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c>0 có [tex]a^3+b^3[/tex] [tex]\geq[/tex] [tex]a^2b +ab^2[/tex]
Chứng minh

a)[tex]\frac{a^3 + b^3}{2ab}[/tex] + [tex]\frac{b^3+c^3}{2bc}[/tex] + [tex]\frac{c^3+a^3}{2ac}[/tex] \geq a+b+c

b) [tex]\frac{a^3}{b}[/tex] + [tex]\frac{b^3}{c}[/tex] + [tex]\frac{c^3}{a}[/tex] \geq ab+bc+ca

 

[eye_smile]

Mình nghĩ chỉ cần đk các số đều dương là đc
a,CM: $\dfrac{{a^3}+{b^3}}{2ab}$ \geq $\dfrac{a+b}{2}$
TT với 2 BT còn lại suy ra đpcm
b, Có rất nhiều cách
AD AM-GM:
$\dfrac{{a^3}}{b}+ab$ \geq $2{a^2}$
$\dfrac{{b^3}}{c}+bc$ \geq $2{b^2}$
$\dfrac{{c^3}}{a}+ca$ \geq $2{c^2}$
\Rightarrow $\dfrac{{a^3}}{b}+\dfrac{{b^3}}{c}+\dfrac{{c^3}}{a}$ \geq $2({a^2}+{b^2}+{c^2})-ab-bc-ac$ \geq $ab+bc+ca$

 

[congchuaanhsang]

b,Cauchy-Schwarz:

$\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a} = \dfrac{a^4}{ab} + \dfrac{b^4}{bc} + \dfrac{c^4}{ca}$

\geq$\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}$\geq$\dfrac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca}$=$ab+bc+ca$