Chứng minh bất đẳng thức

[hoang2821998]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

(a+b+c)( [tex]\frac{1}{a+b}[/tex] + [tex]\frac{1}{b+c}[/tex] + [tex]\frac{1}{c+a}[/tex] ) [tex]\geq[/tex] [tex]\frac{9}{2}[/tex] với a,b,c >0

 

[vipboycodon]

Theo bất đẳng thức cauchy - schwarz ta có :
$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c} \ge \dfrac{9}{2(a+b+c)}$
Nhân với $a+b+c$ ta có đpcm.

 

[congchuaanhsang]

Theo bất đẳng thức cauchy - schwarz ta có :
$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c} \ge \dfrac{9}{2(a+b+c)}$
Nhân với $a+b+c$ ta có đpcm.

Áp dụng $(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})$ \geq 9 với x,y,z >0

với x=a+b ; y=b+c ; z=c+a

$2(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$\geq9

\Leftrightarrowđpcm

 

[nghichthuyhan599]

(a+b+c)( [tex]\frac{1}{a+b}[/tex] + [tex]\frac{1}{b+c}[/tex] + [tex]\frac{1}{c+a}[/tex] ) [tex]\geq[/tex] [tex]\frac{9}{2}[/tex] với a,b,c >0

Mình mới xem kĩ thuật này trên mạng nên làm thử nhé:
Nhận thấy bất đẳng thức đã cho thuần nhất, nên chuẩn hoá a + b + c = 1.
Bất đẳng thức trở thành:
$1+\dfrac{c}{a+b}+1+\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{c+a} \geq \dfrac{9}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} \geq \dfrac{3}{2}$
Đây là bất đẳng thức Nesbit và mình nghĩ bạn cũng biết cách chứng minh nó rồi.
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.