Chứng minh bất đẳng thức

[thptthsp]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giải các bất đẳng thức:
a) [laTEX]\frac{2}{a^{2}+bc}+\frac{2}{b^{2}+ca}+\frac{2}{c^{2}+ab}[/laTEX] nhỏ hơn hoặc bằng [laTEX]\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{ab}[/laTEX] (a,b,c> 0)
b) [laTEX]\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}}{z+x}[/laTEX] lớn hơn hoặc bằng[laTEX]\frac{x+y+z}{2} [/laTEX] với mọi x, y, z>0
c) [laTEX]\frac{x^{2}}{1+y}+\frac{y^{2}}{1+z}+\frac{z^{2}}{1+x}[/laTEX] lớn hơn hoặc bằng [laTEX]\frac{3}{2} [/laTEX] với x,y, z lớn hơn hoặc bằng 0 và xyz=1
d) [laTEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+ \frac{c}{a+b}[/laTEX] lớn hơn hoặc bằng [laTEX]\frac{3}{2}[/laTEX] với mọi a, b, c >0

 

[conga222222]

$\eqalign{
& {a \over {b + c}} + {b \over {c + a}} + {c \over {a + b}} + 3 = \left( {a + b + c} \right)\left( {{1 \over {b + c}} + {1 \over {c + a}} + {1 \over {a + b}}} \right) \cr
& {1 \over {b + c}} + {1 \over {c + a}} + {1 \over {a + b}} \ge {9 \over {2a + 2b + 2c}}\;\left( {{1 \over x} + {1 \over y} + {1 \over z} \ge {9 \over {x + y + z}}} \right) \cr
& \to dpcm \cr} $

 

[vipboycodon]

d)Tham khảo tại đây
c) $\dfrac{x^2}{1+y}+\dfrac{y^2}{1+z}+\dfrac{z^2}{1+x} \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{x+y+z+3} \ge \dfrac{3}{2}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x = y = z = 1$
Sai thì thông cảm.

 

[vipboycodon]

b) Theo cauchy schwarz ta có :
$\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x} \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)} $ => đpcm

 

[vipboycodon]

b) Cách khác :
Theo bdt AM - GM ta có :
$\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{x+y}{4} \ge x$
$\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4} \ge y$
$\dfrac{z^2}{z+x}+\dfrac{z+x}{4} \ge z$
Cộng vế với vế ta có :
$\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}+\dfrac{2(x+y+z)}{4} \ge x+y+z$
=> đpcm

 

[congchuaanhsang]

Câu a cũng đơn giản thôi mak

Theo Cauchy $\dfrac{2}{a^2+bc}$\leq$\dfrac{1}{a\sqrt{bc}}$ = $\dfrac{\sqrt{bc}}{abc}$

Tương tự được VT\leq$\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{abc}$

Tiếp tục Cauchy $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$\leq$a+b+c$

\RightarrowVT\leq$\dfrac{a+b+c}{abc}$=VP