Chứng minh bất đẳng thức

[payphone]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh :
$\sqrt{c(a-c)}$ +$\sqrt{c(b-c)}$ \leq $\sqrt{ab}$ với a>c , b>c và c>0

 

[congchuaanhsang]

Xét A=$\sqrt{ \dfrac{c(a-c)}{ab} }$+$\sqrt{ \dfrac{c(b-c)}{ab} }$

A=$\sqrt{ \dfrac{c}{b}.\dfrac{a-c}{a} }$+$\sqrt{ \dfrac{c}{a}.\dfrac{b-c}{b} }$

A=$\sqrt{ \dfrac{c}{b}.(1-\dfrac{c}{a}) }$+$\sqrt{ \dfrac{c}{a}.(1-\dfrac{c}{b}) }$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

A\leq$\dfrac{\dfrac{c}{b}-\dfrac{c}{a}+1}{2}$+$\dfrac{\dfrac{c}{a}-\dfrac{c}{b}+1}{2}$

\LeftrightarrowA\leq$\dfrac{1}{2}$+$\dfrac{1}{2}$=1

\Rightarrow$\sqrt{c(a-c)}$+$\sqrt{c(b-c)}$\leq$\sqrt{ab}$

 

[eye_smile]

$(\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)})^2 \le (c+b-c)(a-c+c)=ab$

\Rightarrow đpcm