Chứng minh bất đẳng thức

B

braga

$\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{2}\right)^2\geq 0 \ \ \text{và} \ \ \left(\sqrt{b}-\dfrac{1}{2}\right)^2\geq 0 \\ \iff \left(a-\sqrt{a}+\dfrac{1}{4}\right)+\left(b-\sqrt{b}+\dfrac{1}{4}\right)\geq 0 \\ \iff a+b+\dfrac{1}{2}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}>0 \\ \text{Mà } \ a+b\geq 2\sqrt{ab}>0 \\ \text{Nhân từng vế ta có :} \\ (a+b)\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right) \geq 2\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right) \\ \iff \dfrac{(a+b)^2}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$
 
C

congchuaanhsang

Gọi A là vế trái của BĐT
A=$\dfrac{(a+b)^2}{2}$+$\dfrac{a+b}{4}$=$\dfrac{a+b}{2}$(a+b+$\dfrac{1}{2}$)
Vì a,b không âm
Áp dụng BĐT Cauchy $\dfrac{a+b}{2}$\geq$\sqrt{ab}$
\RightarrowA\geq$\sqrt{ab}$(a+b+$\dfrac{1}{2}$) (1)
Xét hiệu $\sqrt{ab}$(a+b+$\dfrac{1}{2}$)-$\sqrt{ab}$($\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$)
=$\sqrt{ab}$(a+b+$\dfrac{1}{2}$-$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$)
=$\sqrt{ab}$[$(\sqrt{a}-\dfrac{1}{2})^2$+$(\sqrt{b}-\dfrac{1}{2})^2$]\geq0
\Rightarrow$\sqrt{ab}$(a+b+$\dfrac{1}{2}$)\geq $\sqrt{ab}$ ($\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$)=a$\sqrt{b}$+b$\sqrt{a}$ (2)
Từ (1) và (2)\RightarrowA\geq$a\sqrt{b}$+$b\sqrt{a}$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom