Chứng minh bất đẳng thức

[greentiger]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c dương. CMR:

[TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+a}{c+a}+\frac{c+b}{a+b}[/TEX]

 

[hoang_duythanh]

$\text{Mình nghĩ đề là, CMR:} \ \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge\dfrac{a+b}{a+c}+\dfrac{a+c}{b+c}+\dfrac{b+c}{a+b}$

Bạn ơi ,đề bài bạn đưa ra thì khác gì đề bài mà bạn kia đã cho vậy??? bạn xem lại nhé!!

@braga: Mình nhìn nhầm

 

[braga]

$$\text{BĐT}\iff \dfrac{a}{b}-\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c}-\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a}-\dfrac{c}{a+b}\ge \dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c} \\ \iff \dfrac{ac}{b(b+c)}+\dfrac{ab}{c(c+a)}+\dfrac{cb}{a(a+b)}\ge \dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}$$
Xét các biểu thức:
$$P=\dfrac{ac}{b(b+c)}+\dfrac{ab}{c(c+a)}+\dfrac{cb}{a(a+b)} \\ Q=\dfrac{bc}{a(b+c)}+\dfrac{ac}{b(c+a)}+\dfrac{ab}{c(a+b)}$$
Theo $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$$PQ\ge \left( \dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}\right)^2$$
Mặt khác theo bất đẳng thức hoán vị thì:
$$P-Q=\dfrac{1}{abc}\left(\dfrac{a^2c^2}{b+c}+\dfrac{a^2b^2}{a+c}+\dfrac{b^2c^2}{a+b}-\dfrac{b^2c^2}{b+c}-\dfrac{a^2c^2}{a+c}-\dfrac{a^2b^2}{a+b}\right)\ge 0$$
Từ đó suy ra
$$P\ge \dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}$$
Bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn.