Chứng minh bất đẳng thức

[saobangkhoc141999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[tex] 1, \ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \geq a(a + b + c + d) \forall a,b,c,d[/tex]
[TEX]2,\ x^4 + y^4 + z^4 \geq xyz(x + y + z) \forall x,y,z[/TEX]
[TEX]3, \ x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1 > 0 \forall x[/TEX]
[tex]4, \ \frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} + \frac{16}{a + b} \geq 5(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \forall a,b>0 [/tex]
5, Cho [tex] -1\leq a,b,c \leq 2 [/tex] và [tex]a + b + c = 0[/tex]. Chứng minh
[tex] -abc \leq a^2 + b^2 + c^2 \leq 8 - abc [/tex]

 

[vipboycodon]

áp dụng bđt cô-si ta có:
$x^4+y^4 \ge 2\sqrt{x^4y^4}$
<=> $x^4+y^4 \ge 2x^2y^2$
$x^4+z^4 \ge 2\sqrt{x^4z^4}$
<=> $x^4+z^4 \ge 2x^2z^2$
$y^4+z^4 \ge 2\sqrt{y^4z^4}$
<=> $y^4+z^4 \ge 2y^2z^2$
Cộng vế với vế ta có:
$2(x^4+y^4+z^4) \ge 2(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)$
<=> $x^4+y^4+z^4 \ge x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)$ (1)
tương tự với : $x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2 \ge x^2yz+xy^2z+xyz^2$
<=>$x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2 \ge xyz(x+y+z)$ (2)
từ (1) , (2) => dpcm