Chứng minh bất đẳng thức

[saobangkhoc141999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[tex] 1, \ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \geq a(a + b + c + d) \forall a,b,c,d[/tex]
[TEX]2,\ x^4 + y^4 + z^4 \geq xyz(x + y + z) \forall x,y,z[/TEX]
[TEX]3, \ x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1 > 0 \forall x[/TEX]
[tex]4, \ \frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} + \frac{16}{a + b} \geq 5(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \forall a,b>0 [/tex]
5, Cho [tex] -1\leq a,b,c \leq 2 [/tex] và [tex]a + b + c = 0[/tex]. Chứng minh
[tex] -abc \leq a^2 + b^2 + c^2 \leq 8 - abc [/tex]

 

[braga]

[TEX]\fbox{1},[/TEX] Nhân 2 vế với 4 rồi biến đổi tương đương tả được đpcm
[TEX]\fbox{2}. \ x^4+y^4+z^4\geq\geq x^2y^2+y62z^2+z^2x^2\geq xy.yz+yz.zx+zx.xy=xyz(x+y+z)[/TEX]
[TEX]\fbox{3}.[/TEX] Ta có: [TEX]x^2+x+1>0 \Rightarrow x^{10}+x^5+1>0[/TEX]
Mà [TEX]x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1=\frac{x^{10}+x^5+1}{x^2+x+1}[/TEX]
Từ đó \Rightarrow đpcm

 

[braga]

[TEX]\fbox{4}. \ \frac{a}{b^2}-\frac{1}{b}+\frac{b}{a^2}-\frac{1}{a}+4\left ( \frac{4}{a+b}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right )\geq 0 \\ \Leftrightarrow \frac{a-b}{b^2}+\frac{b-a}{a^2}+4\frac{4ab-(a+b)^2}{(a+b)ab}\geq 0 \\ \Leftrightarrow \frac{(a-b)^2(a+b)}{a^2b^2}-\frac{4(a-b)^2}{(a+b)ab}\geq 0 \\ \Leftrightarrow (a-b)^2[(a+b)^2-4ab]\geq 0 \Leftrightarrow (a-b)^4\geq 0 [/TEX]
BĐT cuối cùng đúng nên ta có đpcm, dấu bằng xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b>0[/TEX]

 

[eye_smile]

5.Ta có: a,b,c<2
nên $\left( {2 - a} \right)\left( {2 - b} \right)\left( {2 - c} \right) \ge 0$
Nhân ra. Được $ \leftrightarrow 8 - abc - 4\left( {a + b + c} \right) + 2ab + 2bc + 2ca \ge 0$
$ \leftrightarrow 8 - abc \ge 4(a + b + c) - 2ab - 2bc - 2ca$
$ \leftrightarrow 8 - abc \ge {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2ab - 2bc - 2ca = {a^2} + {b^2} + {c^2}$

 

[saobangkhoc141999]

[TEX]\fbox{1},[/TEX] Nhân 2 vế với 4 rồi biến đổi tương đương tả được đpcm
[TEX]\fbox{2}. \ x^4+y^4+z^4\geq\geq x^2y^2+y62z^2+z^2x^2\geq xy.yz+yz.zx+zx.xy=xyz(x+y+z)[/TEX]
[TEX]\fbox{3}.[/TEX] Ta có: [TEX]x^2+x+1>0 \Rightarrow x^{10}+x^5+1>0[/TEX]
Mà [TEX]x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1=\frac{x^{10}+x^5+1}{x^2+x+1}[/TEX]
Từ đó \Rightarrow đpcm

Bạn giúp mình trình bày câu 1 với. Mình không biết cách trình bày

 

[saobangkhoc141999]

5.Ta có: a,b,c<2
nên $\left( {2 - a} \right)\left( {2 - b} \right)\left( {2 - c} \right) \ge 0$
Nhân ra. Được $ \leftrightarrow 8 - abc - 4\left( {a + b + c} \right) + 2ab + 2bc + 2ca \ge 0$
$ \leftrightarrow 8 - abc \ge 4(a + b + c) - 2ab - 2bc - 2ca$
$ \leftrightarrow 8 - abc \ge {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2ab - 2bc - 2ca = {a^2} + {b^2} + {c^2}$

Bạn ơi, bạn chứng minh thiếu rồi. Đề bài bắt chứng minh
[tex] -abc \leq {a^2} + {b^2} + {c^2} [/tex] \leq 8 - abc