Chứng minh bất đẳng thức

[htxpjnoy2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a>=1,b>=1; chứng minh :
$a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}$ <= ab

Cho $x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1$; Chứng minh x^2+y^2=1

 

[pe_lun_hp]

Bài 1:

Xét 1 biểu thức phụ

$\sqrt{x-1} = 1\sqrt{x-1} ≤ \dfrac{1 + x - 1}{2} = \dfrac{x}{2}$

Tương tự ta có:

$\sqrt{y - 1} ≤ \dfrac{y}{2}$

Từ trên ta sẽ có:

$\rightarrow a\sqrt{b-1} + b\sqrt{a-1} ≤ a\dfrac{b}{2} + b\dfrac{a}{2} = ab$

(đpcm)

 

[quanghao98]

Cho a>=1,b>=1; chứng minh :
$a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}$ <= ab

Cho $x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1$; Chứng minh x^2+y^2=1

$\sqrt{b-1}$=$\sqrt{1.(b-1)}$ \leq $\frac{b}{2}$ \Rightarrow a$\sqrt{b-1}$ \leq $\frac{ab}{2}$
tương tự,b$\sqrt{a-1}$\leq $\frac{ab}{2}$.
cộng vào ta đươc đpcm

 

[pe_lun_hp]

Bài 2:

Theo đầu bài :

$x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1$

AD bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki:

$1 = (x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})^2 ≤ (x^2 + 1 - x^2)(y^2 + 1 - y^2) = 1$

Dấu ''='' xảy ra khi:

$\dfrac{x}{\sqrt{1 - y^2}} = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{y}$

Giải pt trên ta đc kq:

$x^2 + y^2 = 1$

(đpcm)