zzzzzzzz
Cho:[TEX]{a}^{2}+{b}^{2}=1[/TEX]
Hãy chứng minh:
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)\geq 2\sqrt{2}[/TEX]
Dễ thấy khi $a=b=-\sqrt[]{\frac{1}{2}}$ BĐT trên là sai nên chắc phải có điều kiện $a,b >0$. Khi đó:
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)\geq 2\sqrt{2}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\frac{b+a-(a^2+b^2)+2ab}{ab} \geq 2\sqrt{2}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\frac{b+a-1+2ab}{ab} \geq 2\sqrt{2}[/TEX]
Đến đây đặt [TEX]a+b = x[/TEX]. thì [TEX]x > 0[/TEX] và [TEX](a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2)[/TEX] \Leftrightarrow [TEX]x^2 \leq 2[/TEX].
lúc đó thì [TEX]ab= \frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{x^2-1}{2}[/TEX].
Vì [TEX]ab \neq 0[/TEX] nên [TEX]x \neq 1[/TEX]
=> [TEX]\frac{b+a-1+2ab}{ab}=\frac{x-1+x^2-1}{\frac{x^2-1}{2}}= \frac{2x^2+2x-4}{x^2-1}[/TEX]
Đặt [TEX]\frac{2x^2+2x-4}{x^2-1} = y[/TEX] \Rightarrow [TEX](2-y)x^2+2x+(y-4)=0[/TEX]. Khi [TEX]y=2 \Rightarrow x=1[/TEX] (loại) nên[TEX] y \neq 2[/TEX] lúc đó dễ thây PT bậc 2 này có [TEX](2-y)+2+(y-4)=0[/TEX] nên [TEX]x=1[/TEX] (cái này loại) hoặc [TEX]x=\frac{y-4}{2-y}[/TEX]. Vì [TEX]x > 0[/TEX] nên [TEX]2<y<4[/TEX] (1).
lại có [TEX]x^2 \leq 2[/TEX] nên[TEX] (\frac{y-4}{2-y})^2 \leq 2[/TEX] \Leftrightarrow [TEX]\frac{8-y^2}{(2-y)^2} \leq 0[/TEX] nên[TEX] y^2 \geq 8[/TEX] \Rightarrow [TEX]y \geq 2\sqrt[]{2}[/TEX] hoặc [TEX]y \leq -2\sqrt[]{2}[/TEX]. Đến đây kết hợp với $(1)$ => [TEX]y \geq 2\sqrt[]{2}[/TEX].Vậy [TEX]\frac{b+a-1+2ab}{ab} \geq 2\sqrt{2}[/TEX]. => BĐT cần chứng minh là đúng. Dấu "=" xảy ra khi [TEX]a=b=\sqrt[]{\frac{1}{2}}[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn