Chứng minh bất đẳng thức

[s9_forever_love]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c > 0
CMR: [TEX]a^2(a-\sqrt{bc}) + b^2(b-sqrt{ac}) + c^2(c-sqrt{ab}) \geq 0[/TEX]

 

[vansang02121998]

Áp dụng Cauchy cho 2 số không âm

$a^3+abc \ge 2a^2\sqrt{bc}$

$b^3+abc \ge 2b^2\sqrt{ac}$

$c^3+abc \ge 2c^2\sqrt{ab}$

Cộng vế với vế

$a^3+b^3+c^3+3abc \ge 2(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab})$

$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-a^2\sqrt{bc}-b^2\sqrt{ac}-c^2\sqrt{ab} \ge a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}-3abc$

Áp dụng Cauchy cho 3 số không âm

$a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab} \ge 3abc$

$\Rightarrow a^2(a-\sqrt{bc})+b^2(b-\sqrt{ac})+c^2(c-\sqrt{ab}) \ge 3abc-3abc=0$

Vậy, $a^2(a-\sqrt{bc})+b^2(b-\sqrt{ac})+c^2(c-\sqrt{ab}) \ge 0$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c$