chứng minh bất đẳng thức

[congnhatso1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

có 1 số bất đẳng thức hay đây
xin mời chứng minh:

1, cho a,b là các số dương và [TEX]a^2 + b^2 = 1 [/TEX]

CMR : [TEX] \frac{1}{a} + \frac{1}{b} - (\sqrt{\frac{a}{b}} - \sqrt{\frac{b}{a}})^2 \geq 2 \sqrt{2} [/TEX]

2, CMR [TEX] a^2 + b^2 + 1 > ab + a +3 [/TEX]

 

[huytrandinh]

câu 1 ta có bất đẳng thức tương đương với
[TEX]\frac{a+b}{ab}+2-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{2}[/TEX]
[TEX]<=>a+b\geq (2\sqrt{2}-2)ab+1 (1)[/TEX]
[TEX].t=a+b=a+\sqrt{1-a^{2}}[/TEX]
[TEX].t\leq \sqrt{(1+1)(a^{2}+1-a^{2})}=\sqrt{2}[/TEX]
[TEX].t^{2}=1+2\sqrt{(1-a^{2})a}\geq 1<=>t\geq 1[/TEX]
[TEX]=>1\leq t\leq \sqrt{2}[/TEX]
[TEX].ab=\frac{t^{2}-1}{2}=>(1)[/TEX]
[TEX]<=>P=(\sqrt{2}-1)t^{2}-t+2-\sqrt{2}\leq 0[/TEX]
xét hàm số bậc hai trên trong khoảng 1 đến căn 2 ta thấy
[TEX]MinP=\frac{7-5\sqrt{2}}{4}< 0[/TEX]
[TEX]MaxP=0[/TEX]
vậy ta có đpcm
câu 2,(a,b)=(0,1) bất đẳng thức sai