Chứng minh bất đẳng thức

[s9_forever_love]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Với [TEX]a>0, b>0, c>0, d>0 [/TEX] và [TEX]a+b = 1, c+d = 1[/TEX] thì [TEX]|\sqrt{ac} - \sqrt{bd}| < 1[/TEX]

 

[vansang02121998]

Giả sử $|\sqrt{ac}-\sqrt{bd}| \ge 1$

- TH1:

$\sqrt{ac}-\sqrt{bd} \ge 1$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{ac}-2\sqrt{bd} \ge 2 = a+b+c+d$

$\Leftrightarrow 0 \ge a+b+c+d-2\sqrt{ac}+2\sqrt{bd}$

$\Leftrightarrow 0 \ge (\sqrt{a}-\sqrt{c})^2+(\sqrt{b}+\sqrt{d})^2$

$\Leftrightarrow \sqrt{a}=\sqrt{c};\sqrt{b}=-\sqrt{d}$

$\Leftrightarrow a=c=1;b=d=0$ ( loại )

- TH2:
$\sqrt{ac}-\sqrt{bd} \le -1$

$\Leftrihgtarrow 2\sqrt{ac}-2\sqrt{bd} \le -2 = -a-b-c-d$

$\Leftrightarrow a+b+c+d+2\sqrt{ac}-2\sqrt{bd} \le 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{c})^2+(\sqrt{b}-\sqrt{d})^2 \le 0$ ( loại )

$\Leftrightarrow \sqrt{a}=-\sqrt{c};\sqrt{b}=\sqrt{d}$

$\Leftrightarrow a=c=0;b=d=1$ ( loại )

$\Rightarrow$ Điều giả sử là sai

Vậy, $|\sqrt{ac}-\sqrt{bd}| < 1$