Chứng minh bất đẳng thức

[harzyhienpham]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x+y+z bé hơn hoặc bằng 3. Chứng minh:
(x^2)y + (y^2)z + (z^2)x bé hơn hoặc bằng x^2 + y^2 + z^2

 

[linkinpark_lp]

Đầu tiên ta sẽ chứng minh:[TEX] \3({x^2}y + z{y^2} + x{z^2}) \le (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2})\[/TEX](1)
Ta có:
VP:[TEX] \ {x^3} + {y^3} + {z^3} + x{y^2} + x{z^2} + {\rm{y}}{{\rm{x}}^2} + y{z^2} + z{x^2} + z{y^2}\[/TEX]
Lại có:
[TEX]\ {x^3} + x{y^2} + {\rm{y}}{{\rm{x}}^2} \ge 3{x^2}y\[/TEX]
[TEX]\ {y^3} + y{z^2} + z{y^2} \ge 3z{y^2}\[/TEX]
[TEX]\ {z^3} + x{z^2} + z{x^2} \ge 3x{z^2}\[/TEX]
(BĐT Cô-Si)
Vậy (1) được chứng minh. Mà [TEX]\ (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2}) \le 3({x^2} + {y^2} + {z^2})\[/TEX] (2)
Từ (1) và (2) BĐT được CM dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1.
Chúc em học tốt!