Chứng minh bất đẳng thức

[nguyenphuongthao28598]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

$P= a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd$ và $ad-bc=1$

CMR [tex]P\geq\sqrt{3}[/tex]

ĐÂY LÀ ĐỀ THI THỬ LỚP 10 VỪA RÙI CUẢ TRƯỜNG TỚ CỐ GẮNG NHA MỌI NGƯỜI
@daovuquang: thiếu đề.

 

[nguyenphuongthao28598]

cmr P >= CĂN 3 NHA MỌI NGƯỜI...........................................................

 

[braga]

$$\sqrt{1+(ac+bd)^2}=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} \leq \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}$$
$$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2 \geq 2.\sqrt{1+(ac+bd)^2}$$
Đặt $x=ac+bd \Rightarrow (1) \Leftrightarrow 2.\sqrt{1+x^2}+x$
$$(2.\sqrt{1+x^2}+x)^2=x^2+4+4x^2+4x.\sqrt{1+x^2}=(2x+\sqrt{1+x})^2+3 \geq 3 $$
$$\Rightarrow 2.\sqrt{1+x^2}+x \geq \sqrt{3}$$
$$\Rightarrow P\geq \sqrt{3}(dpcm) . \square$$

 

[maikhaiok]

Bài này là: "Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 9 bảng A toàn quốc năm 1994"

Nguyên văn đề như sau:

Cho biểu thức:

$S = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + ac + bd$ với $ad-bc=1$

a, Chứng minh rằng $S \ge \sqrt 3$

b, Tính giá trị của tổng $(a+c)^2+(b+d)^2$ khi $S = \sqrt 3$

Các bạn thử làm câu b xem