Chứng minh bất đẳng thức

[hovang49]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a)$8(a^3+b^3+c^3)$ \geq $(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3$ với $a,b,c>0$
b)$(a+b+c)^3$ \geq $a^3+b^3+c^3+24abc$ với $a, b, c$ \geq $0$

 

[songngu1998]

phần a theo mình là thế này mình cũng không chắc lắm nên sai đâu mọi người cứ sửa
* ta cm a^3+b^3\geqab(a+b)
không mất tính tổng quát ta giả sử a\geqb
\Leftrightarrowa^3 +b^3\geqa^2b+ab^2
\Leftrightarrowa^2(a-b)\geqb^2(a-b) (*)
a\geqb>0 \Rightarrowa^2\geqb^2 ; a-b\geq0
\Rightarrow (*) đúng\Rightarrow a^3+b^3\geqab(a+b) đúng
dấu "=" xảy ra khi a=b
8(a^3+b^3+c^3)\geq(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3
\Leftrightarrow2(a^3 +b^3+c^3)+6(a^3+b^3+c^3)\geq2(a^3+b^3+c^3)+3ab(a+b) +3ac(a+c) +3bc(b+c)
\Leftrightarrow6(a^3+b^3+c^3)\geq3ab(a+b) +3ac(a+c) +3bc(b+c)
\Leftrightarrow3(a^3+b^3)+3(b^3+c^3)+3(a^3+c^3) \geq 3ab(a+b) +3ac(a+c) +3bc(b+c)
dấu "=" xảy ra khi a=b=c

 

[hamanhhuu]

làm nốt câu b
phân tích ra (a +b+c)^3 =a^3 + b^3 +c^3 +3(a+b)(b+c)(c+a)
do (a+b)(b+c)(c+a) >= 24 abc (dũng cosi cm dễ mà)
suy ra đpcm