Chứng minh bất đẳng thức

[hovang49]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

$a)2(a^3+b^3)$ \geq $(a+b)(a^2+b^2)$ với $a,b >o$
$b) 4(a^3+b^3)$ \geq $(a+b)^3$ với $a,b>o$

 

[maikhaiok]

a)2(a^3+b^3)\geq(a+b)(a^2+b^2) với a,b >o
b)4(a^3+b^3)\geq(a+b)^3 với a,b>o

Mấy bài này chỉ đơn giản là nhân ra rồi CM >=0 thôi

a,[TEX]2(a^3+b^3)\geq(a+b)(a^2+b^2)[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow 2{a^3} + 2{b^3} \ge {a^3} + a{b^2} + {a^2}b + {b^3}[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow {a^3} - ab + {b^3} - {a^2}b \ge 0[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow a({a^2} - {b^2}) - b({a^2} - {b^2}) \ge 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a - b)(a - b)(a + b) \ge 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow {(a - b)^2}(a + b) \ge 0[/TEX]

BĐT cuối là đúng suy ra BĐT cần CM cũng đúng

b,[TEX]4(a^3+b^3)\geq(a+b)^3[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow 4{a^3} + 4{b^3} \ge {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 3{a^3} - 3a{b^2} + 3{b^3} - 3{a^2}b \ge 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow {a^3} - ab + {b^3} - {a^2}b \ge 0[/TEX]

Đến đây làm tương tự như câu a

 

[pokemon12345]

[TEX]2(a^3+b^3)\geq (a+b)(a^2+b^2)[/TEX]
=>ta phải CM:[TEX] 2(a^3+b^3)-(a+b)(a^2+b^2)\geq 0[/TEX]
[TEX]<=>2(a+b)(a^2-ab+b^2)-(a+b)(a^2+b^2)[/TEX]
[TEX]<=>(a+b)(2a^2-2ab+2b^2-a^2-b^2)[/TEX]
[TEX]<=>(a+b)(9a^2-2ab+b^2)[/TEX]
[TEX]<=>(a+b)(a-b)^2[/TEX]
a,b>0
[TEX](a-b)^2>0[/TEX]
[TEX](a+b)(a-b)^2[/TEX]=>điều phải Cm
Lại chậm chân hơn rùi