chứng minh bất đẳng thức

[pelinhjoitoan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a, b, c là ba số thực dương. chứng minh:
[TEX]\frac{a}{3a+b+c}+ \frac{b}{3b+c+a}+ \frac{c}{3c+a+b}\le \ \frac{3}{5} [/TEX]

 

[legendyugi]

cho a, b, c là ba số thực dương. chứng minh:
[TEX]\frac{a}{3a+b+c}+ \frac{b}{3b+c+a}+ \frac{c}{3c+a+b}\le \ \frac{3}{5} [/TEX]

Cuối cùng làm cũng ra, hôg bít có đúng ko:-SS
[TEX]\sum \frac{a}{3a+b+c} \leq \frac{3}{5} \Leftrightarrow \sum \frac{-a}{3a+b+c} \geq \frac{-3}{5} \Leftrightarrow \sum \frac{1}{3} -\frac{a}{3a+b+c} \geq \frac{2}{5} \Leftrightarrow \sum \frac{b+c}{3(3a+b+c)} \geq \frac{2}{5}[/TEX]. Vậy cần c/m [TEX]\sum \frac{b+c}{3a+b+c} \geq \frac{6}{5}[/TEX]
Có [TEX]\sum \frac{b+c}{3a+b+c} =\sum \frac{(b+c)^2}{(b+c)(3a+b+c)} \geq \frac{(2\sum a)^2}{\sum [(a+b)^2 +3ac+3bc]} \geq \frac{4(\sum a )^2}{\sum (a+b)^2 +\sum 6ab} = \frac{4(\sum a)^2}{\sum 2a^2 +\sum 8ab} =\frac{2(\sum a)^2}{\sum a^2 +\sum 4ab}[/TEX]
Vậy cần c/m: [TEX]\sum a^2 +\sum 4ab \leq \frac{5(\sum a)^2}{3} \Leftrightarrow \sum 3a^2 +\sum 12ab \leq \sum 5a^2 +\sum 10ab \Leftrightarrow \sum a^2 \geq \sum ab[/TEX](hiển nhiên đúng) [TEX]\Rightarrow[/TEX]bất đẳng thức đc c/m :-SS

 

[celebi97]

cho a, b, c là ba số thực dương. chứng minh:
[TEX]T= \frac{a}{3a+b+c}+ \frac{b}{3b+c+a}+ \frac{c}{3c+a+b}\le \ \frac{3}{5} [/TEX]

[TEX]x=3a+b+c[/TEX]
[TEX]y=3b+c+a[/TEX]
[TEX]z=3c+a+b[/TEX]
[TEX]T=\frac{4x-y-z}{10x} + \frac{4y-x-z}{10y} + \frac{4z-y-x}{10z}= \frac{6}{5} - \frac{1}{10} ( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{x}{z} + \frac{z}{x} + \frac{y}{z} + \frac{z}{y} ) \leq \frac{6}{5} - \frac{6}{10} = \frac{3}{5}[/TEX]