Chứng minh bất đẳng thức

[greigazx]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[Toán 10]Chứng minh bất đẳng thức

1. Cho a,b,c là 3 số dương và số tự nhiên n \geq 2. Chứng minh rằng:

[TEX]\sqrt[n]{\frac{a}{b+c}} + \sqrt[n]{\frac{b}{a+c}} + \sqrt[n]{\frac{c}{a+b}} > \frac{n}{n-1}\sqrt[n]{n-1}[/TEX]​

2. Cho a,b,c \geq 1 . chứng minh rằng

[TEX]\frac{1}{a^{3}+1} + \frac{1}{b^{3}+1} + \frac{1}{c^{3}+1} \geq \frac{3}{abc + 1}[/TEX]​

Cảm ơn mọi người nhiều

 

[greigazx]

Mọi người có ai giúp mình được ko
Cảm ơn nhiều
50 ký tự50 ký tự50 ký tự50 ký tự50 ký tự50 ký tự50 ký tự50 ký tự

 

[bboy114crew]

1. Cho a,b,c là 3 số dương và số tự nhiên n \geq 2. Chứng minh rằng:

[TEX]\sqrt[n]{\frac{a}{b+c}} + \sqrt[n]{\frac{b}{a+c}} + \sqrt[n]{\frac{c}{a+b}} > \frac{n}{n-1}\sqrt[n]{n-1}[/TEX]​

2. Cho a,b,c \geq 1 . chứng minh rằng

[TEX]\frac{1}{a^{3}+1} + \frac{1}{b^{3}+1} + \frac{1}{c^{3}+1} \geq \frac{3}{abc + 1}[/TEX]​

Cảm ơn mọi người nhiều

1.
Theo dụng BĐT AM-GM cho n số dương ta có:
[TEX]\frac{(a+b)(n-1)}{c} + 1+...+1 \geq n\sqrt[n]{\frac{(a+b)(n-1)}{c} }[/TEX]
( n-1 số 1)
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(n-1)(a+b+c)}{nc} \geq \sqrt[n]{\frac{(a+b)(n-1)}{c} }[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{n}{n-1}\sqrt[n]{n-1}.\frac{a}{b+c} \leq \sqrt[n]{\frac{c}{b+a}}[/TEX]
Xây dựng tương tự hai BDT rồi cộng lại ta được:
[TEX]\sqrt[n]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[n]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[n]{\frac{c}{a+b}} \geq \frac{n}{n-1}\sqrt[n]{n-1}[/TEX]
Dấu = xảy ra khi :
[TEX]n=\frac{3}{2}[/TEX]
a=b=c
2.
Không khó lắm đâu bạn chịu khó nghĩ đi!