chứng minh bất đẳng thức

[hoangtudk1996]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a. [TEX]{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\geq ab+bc+ca[/TEX]
b.[TEX](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9[/TEX]
c.[TEX]\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}\ge \frac{a}{b}+\frac{b}{a}[/TEX]
d.[TEX]{(a+b+c)}^{2}\geq 3(ab+bc+ca)[/TEX]
e.[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/TEX]
các bạn giải nhanh giúp mình nhé.Mai mình phải đi học rùi.Giải được thank liền!!!
:khi (152): :khi (152): :khi (152): :khi (109): :khi (109): :khi (109):

 

[han002]

đay chỉ là hướng dẫn thôi còn làm ra giấy như thế nào thì tự làm

c/m : a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca
giả sử đpcm là đúng ,ta có:
a^2 + b^2 + c^2 - ab -bc - ca \geq 0
\Leftrightarrow 2 ( a^2 + b^2 + c^2 - ab -bc - ca)\geq0
\Leftrightarrow ( khai triển ra )
\Leftrightarrow ( a^2 - 2ab + b^2 ) + ( b^2 - 2bc + b^2 ) +( c^2 - 2ac + a^2 ) \geq0
\Leftrightarrow ( a-b )^2 + ( b-c)^2 + ( a-c)^2 \geq0
Bdt này đúng vậy đpcm là đúng
đẳng thức xảy ra khi a=b=c

( a+b+c)^2 \geq 3 (ab+bc+ac)
cũng giả sử như câu 1 rồi khi triển ra chuyển vế ta dc bpt giống như câu 1
2 ( a^2 + b^2 + c^2 - ab -bc - ca)\geq0
nhóm lại làm tương tự câu trên


c/m \frac{1}{a} + \frac{1}{y} \geq \frac{a}{x+y}
cũng giả sử dpcm là đung quy đồng vế trái
\frac{x+y}{xy}\geq \frac{4}{x+y}
nhân chéo ta dc (x+y )^2 \geq 4xy
chuyển vế ta dc ( x-y)^2 \geq0
bdt này dung nen dpcm là dung
dang thuc xay ra khi x=y

 

[bboy114crew]

a. [TEX]{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\geq ab+bc+ca[/TEX]
b.[TEX](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9[/TEX]
c.[TEX]\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}\ge \frac{a}{b}+\frac{b}{a}[/TEX]
d.[TEX]{(a+b+c)}^{2}\geq 3(ab+bc+ca)[/TEX]
e.[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/TEX]
các bạn giải nhanh giúp mình nhé.Mai mình phải đi học rùi.Giải được thank liền!!!
:khi (152): :khi (152): :khi (152): :khi (109): :khi (109): :khi (109):

a.Ta có:
[TEX]{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\geq ab+bc+ca[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum (a_b)^2 \geq 0[/TEX]
b.Áp dụng AM_GM cho ba số dương ta có:
[TEX](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 3\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}} =9[/TEX]
e..[TEX]\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}\ge \frac{a}{b}+\frac{b}{a}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2-2 - \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1) \geq 0[/TEX]
[TEX]true[/TEX]
d.[TEX]{(a+b+c)}^{2}\geq 3(ab+bc+ca)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum (a_b)^2 \geq 0[/TEX]
e..[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x+y)^2 \geq 4xy \Leftrightarrow (x-y)^2 \geq 0[/TEX]
Đây là các BDT cơ bạn nhất bạn nên tự chứng minh nó!
Lần sau những bài như thế này bạn không nên đưa lên hm!

 

[yumi_26]

a. [TEX]{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\geq ab+bc+ca[/TEX]
b.[TEX](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9[/TEX]
c.[TEX]\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}\ge \frac{a}{b}+\frac{b}{a}[/TEX]
d.[TEX]{(a+b+c)}^{2}\geq 3(ab+bc+ca)[/TEX]
e.[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/TEX]
các bạn giải nhanh giúp mình nhé.Mai mình phải đi học rùi.Giải được thank liền!!!
:khi (152): :khi (152): :khi (152): :khi (109): :khi (109): :khi (109):

Cách khác cho 2 bài trên
1. Ta có:
[TEX] a^2 + b^2 \geq 2ab [/TEX]
[TEX] b^2 + c^2 \geq 2bc [/TEX]
[TEX] a^2 + c^2 \geq 2ac [/TEX]
Cộng từng vế, ta đc
[TEX] 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 \geq 2ab + 2bc + 2ac [/TEX]
\Leftrightarrow [TEX] a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca [/TEX]

2. Với 2 số x, y ko âm ta luôn có:

Ta có: