chứng minh bất đẳng thức

[shockwavetf3]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1)
Cho a,b,c,d > 0. C/m:
a)

b)

Bài 2)
a)

(x+y\leq2 ; x,y>0)
Minh dở Toan lắm các bạn giải dễ hiểu giùm mình nhaz :-<

 

[locxoaymgk]

Bài 1)
Cho a,b,c,d > 0. C/m:
a)

b)

Bài 2)
a)

(x+y\leq2 ; x,y>0)
Minh dở Toan lắm các bạn giải dễ hiểu giùm mình nhaz :-<

a, Áp dung BDt bunhiacopki dạng mở rộng:
[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}=\frac{a^2}{a(b+c)}+\frac{b^2}{b(c+d)}+\frac{c^2}{c(d+a)}+\frac{d^2}{d(a+b)}[/TEX]

[TEX] \geq \frac{(a+b+c+d)^2}{2(ab+bc+ca+ad)}\geq \frac{4(ab+bc+cd+da)}{2(ab+bc+cd+da)}=2.[/TEX]
b,
Ta có:
[TEX] \frac{a}{a+b+c} >\frac{a}{a+b+c+d}[/TEX]

[TEX] \frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d}[/TEX]

[TEX] \frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d}[/TEX]

[TEX] \frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow VT >\frac{(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=1.[/TEX]

 

[shockwavetf3]

a, Áp dung BDt bunhiacopki dạng mở rộng:
[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}=\frac{a^2}{a(b+c)}+\frac{b^2}{b(c+d)}+\frac{c^2}{c(d+a)}+\frac{d^2}{d(a+b)}[/TEX]

[TEX] \geq \frac{(a+b+c+d)^2}{2(ab+bc+ca+ad)}\geq \frac{4(ab+bc+cd+da)}{2(ab+bc+cd+da)}=2.[/TEX]
b,
Ta có:
[TEX] \frac{a}{a+b+c} >\frac{a}{a+b+c+d}[/TEX]

[TEX] \frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d}[/TEX]

[TEX] \frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d}[/TEX]

[TEX] \frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow VT >\frac{(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=1.[/TEX]

mình chỉ biết bđt BCS bình thường thôi chứ mở rộng thì ko biết bạn ghi ra công thức giùm mình y

 

[locxoaymgk]

mình chỉ biết bđt BCS bình thường thôi chứ mở rộng thì ko biết bạn ghi ra công thức giùm mình y

BDT bunhi a áp dung với bộ số [TEX](a_1;a_2;a_3;...;a_n) [/TEX]và[TEX] (b_1;b_2;b_3...;b_n)[/TEX] ta có:
[TEX] \frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...+\frac{a_n^2}{b_n}\geq \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}[/TEX]

Ngoài ra còn có BDT
[TEX](x+y)^2 \geq 4xy \Rightarrow (a+b+c+d)^2 \geq 4(a+c)(b+d)=4(ab+bc+cd+da).[/TEX]

 

[shockwavetf3]

làm tiep nhaz

BDT bunhi a áp dung với bộ số [TEX](a_1;a_2;a_3;...;a_n) [/TEX]và[TEX] (b_1;b_2;b_3...;b_n)[/TEX] ta có:
[TEX] \frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...+\frac{a_n^2}{b_n}\geq \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}[/TEX]

Ngoài ra còn có BDT
[TEX](x+y)^2 \geq 4xy \Rightarrow (a+b+c+d)^2 \geq 4(a+c)(b+d)=4(ab+bc+cd+da).[/TEX]

làm tiep nhaz
câu 2a và 1b chưa làm xong

a) Cho a,b,c,d >0 :

b) x+y\leq 2 và x,y>0 :

c) Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác :

d) Cho a,b,c >0 :

ko biết có sai đề không

 

[kieuquocdat]

Bài 2:
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
[TEX]x+\frac{1}{x} \geq 2 \sqrt{x\frac{1}{x}}[/TEX]=2
[TEX]y+\frac{1}{y} \geq 2 \sqrt{y\frac{1}{y}}[/TEX]=2
\Rightarrow [TEX]x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}[/TEX] \geq 4. (1)

Do x+y \leq 2 \Rightarrow [TEX]\frac{4}{x+y} \[/TEX] \geq 2
Ta có
[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y} \geq 2[/TEX] (2)
Từ (1) và (2) \Rightarrow x+y+[TEX]\frac{2}{x}+\frac{2}{y}[/TEX] \geq 6 (đpcm)

 

[locxoaymgk]

làm tiep nhaz
câu 2a và 1b chưa làm xong

a) Cho a,b,c,d >0 :

b) x+y\leq 2 và x,y>0 :

c) Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác :

d) Cho a,b,c >0 :

ko biết có sai đề không

Mình làm câu d nhé^^:
Theo BDt cô si ta có:
[TEX] \frac{a^3}{b}+ab \geq 2a^2[/TEX]

[TEX]\frac{b^3}{c}+bc\geq2b^2[/TEX]

[TEX]\frac{c^3}{a}+ac\geq 2c^2[/TEX]

[TEX] \Rightarrow VT \geq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)[/TEX]

Mà[TEX] a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca[/TEX]

[TEX] \Rightarrow VT \geq 2(ab+bc+ca)-(ab+bc+ca)=ab+bc+ca.[/TEX]

[TEX] \Rightarrow \ dpcm.[/TEX]

Câu 2a này:
Ta có:
[TEX] \frac{a}{a+b+c}<\frac{a+d}{a+b+c+d}[/TEX]

[TEX] \frac{b}{b+c+d}<\frac{b+a}{a+b+c+d}[/TEX]

[TEX] \frac{c}{c+d+a}<\frac{c+b}{c+d+a+b}[/TEX]

[TEX] \frac{d}{d+a+b}<\frac{d+c}{d+a+b+c}[/TEX]
Cộng từng vế ta có dpcm.
Chú ý:
Ta áp dụng BDT:

[TEX] \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}[/TEX]

Với a,b,c là các số thực dương.
Để bạn học tốt hơn thì bạn nên đọc nhiều các BDt ở đây:

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=84812

 

[shockwavetf3]

Mình làm câu d nhé^^:
Theo BDt cô si ta có:
[TEX] \frac{a^3}{b}+ab \geq 2a^2[/TEX]

[TEX]\frac{b^3}{c}+bc\geq2b^2[/TEX]

[TEX]\frac{c^3}{a}+ac\geq 2c^2[/TEX]

[TEX] \Rightarrow VT \geq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)[/TEX]

Mà[TEX] a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca[/TEX]

[TEX] \Rightarrow VT \geq 2(ab+bc+ca)-(ab+bc+ca)=ab+bc+ca.[/TEX]

[TEX] \Rightarrow \ dpcm.[/TEX]

Câu 2a này:
Ta có:
[TEX] \frac{a}{a+b+c}<\frac{a+d}{a+b+c+d}[/TEX]

[TEX] \frac{b}{b+c+d}<\frac{b+a}{a+b+c+d}[/TEX]

[TEX] \frac{c}{c+d+a}<\frac{c+b}{c+d+a+b}[/TEX]

[TEX] \frac{d}{d+a+b}<\frac{d+c}{d+a+b+c}[/TEX]
Cộng từng vế ta có dpcm.
Chú ý:
Ta áp dụng BDT:

[TEX] \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}[/TEX]

Với a,b,c là các số thực dương.
Để bạn học tốt hơn thì bạn nên đọc nhiều các BDt ở đây:

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=84812

cảm ơn các bạn tiếp nhaz
e) a,b>0 và a+b=1

f)

Hai bài này chắc dễ

 

[linhhuyenvuong]

cảm ơn các bạn tiếp nhaz
e) a,b>0 và a+b=1

f)

Hai bài này chắc dễ

1,[TEX]\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}=(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab})+\frac{1}{2ab} \geq \frac{4}{(a+b)^2}+\frac{2}{(a+b)^2}=6[/TEX]
(do [TEX]2ab \leq\frac{1}{2}(a+b)^2[/TEX]
2,bài này POST quá nhiều rồi!
Nhàm

 

[shockwavetf3]

1,[TEX]\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}=(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab})+\frac{1}{2ab} \geq \frac{4}{(a+b)^2}+\frac{2}{(a+b)^2}=6[/TEX]
(do [TEX]2ab \leq\frac{1}{2}(a+b)^2[/TEX]
2,bài này POST quá nhiều rồi!
Nhàm

ặc post nhieu` là post ở đâu bạn đưa link cho mình đi

 

[locxoaymgk]

cảm ơn các bạn tiếp nhaz
e) a,b>0 và a+b=1

f)

Hai bài này chắc dễ

Công nhận là post quá nhiều rồi!
Áp dung BDT AM-GM ( cô si) ta có:
[TEX]VT= \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2} \geq 3\sqrt{1}=3.[/TEX]

[TEX] \Rightarrow \ 2 \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2} \geq [\frac{a^2}{b^2}+1]+[\frac{b^2}{c^2}+1]+\frac{c^2}{a^2}+1] \geq 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}).[/TEX]

[TEX] \Rightarrow VT \geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}.[/TEX]

Ngoài ra còn có cách CM BDT 2 biến a và b nữa ^^:
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=1662270#post1662270