Chứng minh bất đẳng thức

T

tulinh196

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a,b,c,d >0 thoả mãn ab + bc + cd + da=1 .
C/m: [TEX]\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{a+c+d}+\frac{c^3}{b+a+d}+\frac{d^3}{b+c+a} \geq \frac{1}{3}[/TEX]

2. Cho a+b+c+d=4,a,b,c,d>0 . C/m:
[TEX]\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b} \geq 2[/TEX]

3. Cho a,b,c>0 , a>b>c. C/m:
[TEX]a + \frac{1}{(a-b)(b-c)} \geq 4[/TEX]
 
B

bboy114crew

tulinh196 said:
1. Cho a,b,c,d >0 thoả mãn ab + bc + cd + da=1 .
C/m: [TEX]\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{a+c+d}+\frac{c^3}{b+a+d}+\frac{d^3}{b+c+a} \geq \frac{1}{3}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
1)
áp dụng BDT cauchy ta có:
[TEX]\frac{a^3}{b+c+d} + \frac{b+c+d}{18} + \frac{a}{16} + \frac{1}{12} \geq \frac{2a}{3}[/TEX]
tương tự ta có:

[TEX]\frac{b^3}{a+c+d} + \frac{a+c+d}{18} + \frac{b}{16} + \frac{1}{12} \geq \frac{2b}{3}[/TEX]
[TEX]\frac{c^3}{b+a+d}+ \frac{a+b+d}{18} + \frac{c}{16} + \frac{1}{12} \geq \frac{2c}{3}[/TEX]
[TEX]\frac{d^3}{b+c+a}+ \frac{a+b+c}{18} + \frac{d}{16} + \frac{1}{12} \geq \frac{2d}{3}[/TEX]
cộng theo từng vế của các BDt trên ta được:
[TEX]\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{a+c+d}+\frac{c^3}{b+a+d}+\frac{d^3}{b+c+a} \geq \frac{a+b+c+d}{3} - \frac{1}{3}(1)[/TEX]
ta có: ab + bc + cd + da = (a+c)(b+d)
nên [TEX](a+b+c+d)^2 \geq 4(ab+bc+cd+da) = 4[/TEX] \Rightarrow [TEX]a+b+c+d \geq 2[/TEX]
thay vào (1) ta có DPCM!
dấu ''='' xảy ra \Leftrightarrow[TEX]a=b=c=d = \frac{1}{2}[/TEX]
 
B

bboy114crew

tulinh196 said:
1.


2. Cho a+b+c+d=4,a,b,c,d>0 . C/m:
[TEX]\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b} \geq 2[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
tiếp bài 2!
áp dụng BDT cauchy ta có:
[TEX]\frac{a}{1+b^2c} = a- \frac{ab^2c}{1+b^2c} \geq a - \frac{ab^2c}{2b\sqrt{c}} = a- \frac{ab\sqrt{c}}{2} \geq a - \frac{b\sqrt{a.ac}}{2} \geq a - \frac{b(a+ac)}{4} \Rightarrow\frac{a}{1+b^2c} \geq a - \frac{1}{4}(ab+abc) [/TEX]
tương tự ta có 4 BDt tuong tu rồi cộng lại ta được:
[TEX]\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b} \geq a+b+c+d - \frac{1}{4}(ab+bc+cd+da+abc+bcd+cda+dab)[/TEX]
từ BDT caychy ra de dang chứng minh:
[TEX]ab+bc+cd+da \geq \frac{1}{4}(a+b+c+d)^2 = 4[/TEX]
[TEX]abc+bcd+cda+dab \geq \frac{1}{4}(a+b+c+d)^3 = 4[/TEX]
do đó:
[TEX]\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b} \geq a+b+c+d - 2 = 2[/TEX]
dấu ''='' xảy ra \Leftrightarrow a=b=c=d=1
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom