chứng minh bất đẳng thức

G

giaosu_fanting_thientai

a;b;c là các số thực dương. CMR:

[TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{a+2008}{b+2008}+\frac{b+2008}{c+2008}+\frac{c+2008}{a+2008}[/TEX]
 
B

bigbang195

giaosu_fanting_thientai said:
a;b;c là các số thực dương. CMR:

[TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{a+2008}{b+2008}+\frac{b+2008}{c+2008}+\frac{c+2008}{a+2008}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

gif.latex


với K là số dương bất kì và
gif.latex
 
B

bigbang195

williamdunbar said:
[tex]\frac{1}{ab-4}+\frac{1}{bc-4}+\frac{1}{ac-4} \geq \frac{9}{ab+ac+bc-12} \geq -1[/tex]
\Rightarrow đpcm
ko biết là đúng hay sai.Nếu sai thì bạn nói nghen :D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Sai rùi bạn ạ

gif.latex


do vậy tất cả các mẫu của bạn sẽ bị âm , nếu muốn dùng Cauchy-Schwarz thì phải lật lại nhưng lật lại thì ko dùng đc vì phải cm nhỏ hơn mà :\">
 
N

nhocngo976

giaosu_fanting_thientai said:
Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn [TEX]a^4+b^4+c^4=3[/TEX]. CMR:
[TEX]\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac} \leq 1[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


quy đồng dc
[TEX]\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac} \leq 1[/TEX][/QUOTE]

\Leftrightarrow48-8(ac +ab+bc) +abc(a+b+c) \leq64-16(ac+ab+bc) +4abc(a+b+c) -[tex]a^2b^2c^2[/tex]

\Leftrightarrow16 +3abc(a+b+c) \geq[tex]a^2b^2c^2[/tex] +8(ab+bc+ac) (*)

theo BĐt schur

([tex]a^3+b^3+c^3[/tex] +3abc)(a+b+c) \geq(ab(a+b) +bc(b+c)+ac(a+c))(a+b+c)

\Leftrightarrow3+3abc(a+b+c)\geq [tex](ab+ac)^2+(ac+bc)^2+(bc+ab)^2[/tex] (1)

theo AM-GM và gt a^4+b^4+c^4=3 ta có

[tex](ab+ac)^2+(ac+bc)^2+(bc+ab)^2[/tex] +12 \geq8(ab+bc+ac) (2)

từ (1)và(2) có 15 + abc(a+b+c) \geq8(ab+bc+ac) .

lại có 1\geq[tex]a^2b^2c^2[/tex] \Rightarrow (*) luôn đúng

dấu = khi a=b=c=1

chắc làm thế này, có j thì mọi người bổ sung nha:D
 
G

giaosu_fanting_thientai

[TEX]1; \frac{2}{4-ab}=1-\frac{2-ab}{4-ab}=1-\frac{(2-ab)(2+ab)}{(4-ab)(2+ab)}[/TEX]
[TEX]=1-\frac{4-a^2b^2}{8+2ab-a^2b^2}[/TEX]

Lại có:[TEX] 3=a^4+b^4+c^4 > a^4+b^4=(a^2-b^2)^2+2a^2b^2 \geq 2a^2b^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 4-a^2b^2 > 0[/TEX]
[TEX]8+2ab-a^2b^2=9-(ab-1)^2 \leq 9[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{2}{4-ab} \leq 1-\frac{4-a^b^2}{9}=\frac{5}{9}+\frac{a^2b^2}{9} \leq \frac{5}{9}+\frac{a^4+b^4}{18}[/TEX]

Tương tự: [TEX]\frac{2}{4-bc} \leq \frac{5}{9}+\frac{b^4+c^4}{18}[/TEX]
[TEX]\frac{2}{4-ac} \leq \frac{5}{9}+\frac{a^4+c^4}{18}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow VT \leq \frac{1}{2}(\frac{15}{9}+\frac{a^4+b^4+c^4}{9})=1[/TEX]

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

2; Gỉa sử [TEX]a \geq c; b \geq c[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3 [/TEX]
[TEX]= (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)+(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\frac{b}{a}-1)[/TEX]
[TEX]= \frac{a^2+b^2+2ab}{ab}+\frac{ab+c^2-bc-ac}{ac}=\frac{(a-b)^2}{ab}+\frac{(a-c)(b-c)}{ac} [/TEX] (1)

Với k là 1 số thực dương bất kì:
[TEX]\frac{a+k}{b+k}+\frac{b+k}{c+k}+\frac{c+k}{a+k}-3=\frac{(a-b)^2}{(a+k)(b+k)}+\frac{(a-c)(b-c)}{(a+k)(C+k)} [/TEX] (2)

Vì a;b;c;d > 0 và [TEX]a \geq c; b \geq c [/TEX]nên [TEX]\frac{(a-b)^2}{ab}+\frac{(a-c)(b-c)}{ac} \geq \frac{(a-b)^2}{(a+k)(b+k)}+\frac{(a-c)(b-c)}{(a+k)(C+k)}[/TEX] (3)

Từ (1); (2); (3) [TEX]\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{a+k}{b+k}+\frac{b+k}{c+k}+\frac{c+k}{a+k}[/TEX]

Với k=2008 bài toán đc CM. Dấu = xảy ra khi a=b=c

Thấy hey hey nên post mọi ngừi tham khảo.:)
From TOÁN TUỔI THƠ :D
 
D

dcpro

cho a,b.c >0 ;[TEX] a+b+c \leq 3 [/TEX]
tìm max P = [TEX] \frac{ab}{\sqrt{ab+3c}} + \frac{bc}{\sqrt{bc+3a}} +\frac{ca}{\sqrt{ca+3b}}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom