Toán 9 Chứng minh bất đẳng thức với các biến không âm

[mbappe2k5]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực không âm [TEX]x,y,z[/TEX] đôi một khác nhau thỏa mãn [TEX](x+z)(y+z)=1[/TEX]. Chứng minh rằng:

[tex]\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}\geq 4[/tex] ​

 

[7 1 2 5]

Hmm, hình như giả thiết phải là [tex]\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}\geq 4[/tex] chứ nhỉ...

 

[7 1 2 5]

Nếu như đề như thế thì làm như sau:
Đặt [tex]x+z=a,y+z=b(a,b>0)[/tex] [tex]\Rightarrow x-y=a-b,ab=1[/tex]
Ta có: [tex]\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}=\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{a^2-2ab+b^2}+\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\frac{1}{a^2+b^2-2}+a^2+b^2=(\frac{1}{a^2+b^2-2}+a^2+b^2-2)+2\geq 2+2=4(đpcm)[/tex]