chứng minh bất đẳng thức và phân tích đa thức thành nhân tử ( đề thi hsg)

[anhbadao123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ CMR: nếu a,b,c là 3 cạnh của tam giác thì $A > 0$ với
$2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2a^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4 $
2/ CMR $\dfrac{a}{b+c-a} + \dfrac{b}{(c+a-b)} + \dfrac{c}{(a+b-c)}$ \geq 3
3/ phân tích đa thức thành nhân tử
a) $(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 $
b) $a^2(b-c) +b^2(c-a) +c^2(a-b)$
c)cho $a+b+c+d=0$ . CMR : $a^3 +b^3+c^3+d^3=3(c+d)(ab-dc) $
d) $(a+b+c)^3-(a+b-c)^3 +(b+c-a)^2 - (c+a-b)^2 $

 

[gaconkudo]

3.c
Ta có:
VT=$(a^3+b^3)+(c^3+d^3)$
$=(a+b)(a^2-ab+b^2)+(c+d)(c^2-cd+d^2)$ (khai triển hằng đẳng thức)
$=(a+b)[(a+b)^2-3ab]+(c+d)[(c+d)^2-3cd]$ (làm xuất hiện bình phương tổng)
$=-(c+d)[(c+d)^2-3ab]+(c+d)[(c+d)^2-3cd]$ (lấy từ gt:a+b=-(c+d)
$=(c+d)(3ab-3cd)=3(ab-cd)(c+d)$ (đpcm)

 

[gaconkudo]

3.a
Ta có: $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3 $
Bạn để ý thấy $(x-y)^3+(y-z)^3$ là hằng đẳng thức dạng $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2).$ Vậy ta có thể phân tích $(x-y)^3+(y-z)^3$ như sau
$=(x-y+y-z)((x-y)^2-(x-y)(y-z)+(y-z)^2) $
$=(x-z)((x-y)^2-(x-y)(y-z)+(y-z)^2) $
$=-(z-x)((x-y)^2-(x-y)(y-z)+(y-z)^2)$
Đến đây thì đã có nhân tử chung là (z-x)
CHú ý latex

 

[viethoang1999]

Hãy học cách gõ $\LaTeX$ nhé!

Bài 1: khá quen thuộc!
$A=2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}$
$=4a^{2}b^{2}-(2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}-2c^{2}a^{2}+a^{4}+b^{4}+c^{4})$
$=4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}$
$=(2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2})(2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2})$
$=(a+b-c)(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)$
Do $a;b;c$ là 3 cạnh của 1 tam giác nên $a+b+c>0;b+c-a>0;c+a-b>0;a+b-c>0$
Từ đó suy ra $A>0$

 

[viethoang1999]

Bài 2:
Ta có bđt quen thuộc sau:
$abc\ge (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$ (*)
Chứng minh bằng cách: Đặt $b+c-a=x;c+a-b=y;a+b-c=z$
\Rightarrow $x+y=2c;y+z=2a;z+x=2b$
(*) \Leftrightarrow $(x+y)(y+z)(z+x)\ge 8xyz$
Luôn đúng theo bđt Cô si: $x+y\ge 2\sqrt{xy};y+z\ge 2\sqrt{yz}; z+x\ge 2\sqrt{zx}$, nhân lại ta có đpcm.

Áp dụng bđt Cô si 3 số:
$P=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}$
Mà theo (*) nên $P\ge 3$

 

[viethoang1999]

Bài 3:
Hướng dẫn:
a) Áp dụng hằng đẳng thức sau:
$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc$
Và khi $a+b+c=0$ thì $a^3+b^3+c^3=3abc$

b)
$a^2(b-c) +b^2(c-a) +c^2(a-b)$
$=a^2(b-c)+b^2(c-b)+b^2(b-a)+c^2(a-b)$
$=(a^2-b^2)(b-c)+(b^2-c^2)(b-a)$
Áp dụng hằng đẳng thức thứ 3 tự làm tiếp!

c) Có người làm rồi

d)
Áp dụng các hằng đẳng thức thôi! (không biết có sai đề không, kết quả không đẹp!)
Xem kết quả tại đây

 

[riverflowsinyou1]

2/ CMR $\dfrac{a}{b+c-a} + \dfrac{b}{(c+a-b)} + \dfrac{c}{(a+b-c)}$ \geq 3
$VT=\sum_{cyc} \frac{a^2}{ab+ac-a^2} \ge \frac{(a+b+c)^2}{2.(ab+bc+ac)-\sum a^2}$
$\sum a^2 \ge \sum ab$
$2.(\sum ab)-\sum a^2 \le \sum ab$
\Rightarrow $VT \ge \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+2 \ge 1+2=3$