chứng minh bất đẳng thức và phân tích đa thức thành nhân tử ( đề thi hsg)

[anhbadao123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ CMR: nếu a,b,c là 3 cạnh của tam giác thì A > 0 với
$2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2a^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4 $
2/ CMR $\dfrac{a}{b+c-a} + \dfrac{b}{c+a-b} + \dfrac{c}{a+b-c} \ge 3$
3/ phân tích đa thức thành nhân tử
a) $(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3$
b) $a^2(b-c) +b^2(c-a) +c^2(a-b)$
c)cho a+b+c+d=0 . CMR : $a^3 +b^3+c^3+d^3=3(c+d)(ab-dc) $
d) $(a+b+c)^3-(a+b-c)^3 +(b+c-a)^2 - (c+a-b)^2 $
thông cảm mình ko biết đánh latex . mấy bn help mình mấy bt này nha

 

[hien_vuthithanh]

2/

Đặt b+c-a=x
c+a-b=y
a+b-c=z
\Rightarrow a=$\dfrac{y+z}{2}$,b=$\dfrac{x+z}{2}$.z=$\dfrac{x+y}{2}$
\Rightarrow BDT\Leftrightarrow $\dfrac{y+z}{2x}+\dfrac{x+z}{2y}+\dfrac{x+y}{2z}$ \geq 3
\Leftrightarrow $(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y})+(\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x})+(\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y})$\geq 6(ld)
\Rightarrow dpcm


học cách gõ tại http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=4917

 

[manhnguyen0164]

3. a) Đặt $x-y=a;y-z=b;z-x=c$ thì $a+b+c=0$

Hằng đẳng thức quen thuộc $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=0$

$\rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$

Thế vào..........................

b) $a^2(b−c)+b^2(c−a)+c^2(a−b)=a^2(b-c)-b^2[(b-c)+(a-b)]+c^2(a-b)$

$=(b-c)(a^2-b^2)-(a-b)(b^2-c^2)=(b-c)(a-b)(a+b-b-c)$

$=(a-b)(b-c)(a-c)$

c) $a+b+c+d=0 \iff a+b=-(c+d) \iff (a+b)^3=-(c+d)^3 \iff a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3-d^3-3cd(c+d)$

$ \iff a^3+b^3+c^3+d^3=-3ab(a+b)-3cd(c+d)=3ab(c+d)-3cd(c+d)=3(c+d)(ab-cd)$

d) Tham khảo tại đây !.

 

[manhnguyen0164]

1. $2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2a^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)$

Áp dụng BĐT tam giác suy ra mỗi biểu thức trong ngoặc đều dương \Rightarrow đpcm.