Toán 8 Chứng minh bất đẳng thức [tex]A\leq 1[/tex]

[Vũ Nhất Thiên]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x,y,z >0 thỏa mãn [tex]\frac{1}{x}[/tex] + [tex]\frac{1}{y}[/tex] + [tex]\frac{1}{z}[/tex] =4
CM:A=[tex]\frac{1}{2x+y+z}[/tex] + [tex]\frac{1}{x+2y+z}[/tex] + [tex]\frac{1}{x+y+2z}[/tex] [tex]\leq 1[/tex]
Ai rảnh thì giúp em bài này với ạ!
em cảm ơn!

 

[7 1 2 5]

Ta có:[tex]\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\geq \frac{4}{2x+y+z}\Rightarrow \frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{4(x+y)}+\frac{1}{4(x+z)}[/tex]
Lại có:[tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y};\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\geq \frac{4}{x+z}\Rightarrow \frac{1}{4(x+y)}+\frac{1}{4(x+z)}\leq \frac{1}{16}(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})[/tex][tex]\Rightarrow \frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{16}(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})[/tex]
Tương tự, ta cũng có: [tex]\frac{1}{x+2y+z}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z});\frac{1}{x+y+2z}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z})[/tex]
[tex]\Rightarrow A\leq \frac{1}{16}(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z})=\frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=1[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]x=y=z=\frac{3}{4}[/tex]