chứng minh bất đẳng thức sau

[hp_09]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

A=(a+b)($\dfrac{1 }{a}+\dfrac{1 }{b}$)≥4
B=$\dfrac{a+b }{c}+\dfrac{b+c }{a}+\dfrac{c+a}{b}$≥6,(a,b,c>0)

 

[eye_smile]

$A=2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \ge 2+2=4$ (AM-GM)
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b>0$

$B=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a} \ge 2+2+2=6$ (AM-GM)
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=c>0$

 

[thinhrost1]

$A=2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \ge 2+2=4$ (AM-GM)
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b>0$

$B=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a} \ge 2+2+2=6$ (AM-GM)
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=c>0$

1)$ (a+b)(\dfrac{1}{b})\geq 2\sqrt{ab}.\dfrac{2}{\sqrt{ab}}=4$

Đẳng thức xảy ra kvck a=b

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2:

Cách chứng minh phức tạp hóa vấn đề =))

$VT= \sum \dfrac{a+b}{c}=\sum \dfrac{(a+b)^2}{c(a+b)} \ge \dfrac{4(a+b+c)^2}{2\sum ab} \ge \dfrac{6\sum ab}{\sum ab} = 6$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ =))

 

[su10112000a]

B=$\dfrac{a+b }{c}+\dfrac{b+c }{a}+\dfrac{c+a}{b}$≥6,(a,b,c>0)

ta có:
$B=\dfrac{a+b }{c}+\dfrac{b+c }{a}+\dfrac{c+a}{b}$
\Leftrightarrow$B=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}$
\Rightarrow$B \ge 6\sqrt[6]{\dfrac{a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}}$
\Rightarrow$B \ge 6$
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

 

[congchuaanhsang]

$A=2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \ge 2+2=4$ (AM-GM)
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b>0$

$B=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a} \ge 2+2+2=6$ (AM-GM)
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=c>0$

$(a+b)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$ \geq $(a+b)\dfrac{4}{a+b}=4$

(Cauchy-Schwarz)

$\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}$

$=(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})+(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b})+(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c})$

\geq $2+2+2=6$ (Cauchy cho từng cặp)