Chứng minh bất đẳng thức quen thuộc

[leanboyalone]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Gọi x, y, z là 3 số thực thuộc [1,2] và có tổng không lớn hơn 5.
Chứng minh rằng

Bài này tôi nhớ còn có trường hợp chứng minh ≥ thí dụ như có bài khác chứng minh

chẳng hạn.
Bạn nào có thí dụ khác thì làm giúp. Cám ơn.

Quá lâu, không làm toán đại số 9, cũng không vào diễn đàn, nên quên. Thông cảm.

 

[huynhbachkhoa23]

Không mất tính tổng quát, giả sử $2\ge x\ge y\ge z\ge 1 \rightarrow x+y\le 5-z\le 4$

$x^2+y^2+z^2=(x-y)x+(y-z)(x+y)+z(x+y+z)\le 2(x-y)+4(y-z)+5z=2x+2y+z=(x+y)+(x+y+z)\le 9$

Đẳng thức xảy ra khi $(x;y;z)\sim (2;2;1)$

 

[leanboyalone]

Nhớ cách làm rồi, cách này thông dụng hơn và dễ hiểu hơn cách của huynhbachkhoa23.

Không mất tính tổng quát, giả sử:

1\leqx \leqy\leqz\leq2
=> 1 - x \leq0 và 2 - x \geq0.
Do đó, [TEX](1-x)(2-x) \leq 0\Leftrightarrow2- 3x + x^2\leq0 (1)[/TEX]
Tương tự , ta có :
[TEX]2 - 3y + y^2 \leq0 (2)[/TEX]
[TEX]2-3z+z^2\leq0 (3)[/TEX]

Cộng (1) , (2) và (3) vế theo vế ta được:

[TEX]6 - 3(x+y+z) + x^2+y^2+z^2\leq0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]6 - 15 +x^2+y^2+z^2\leq0[/TEX]
=>[TEX]x^2+y^2+z^2\leq 9[/TEX]

 

[huynhbachkhoa23]

Nhớ cách làm rồi, cách này thông dụng hơn và dễ hiểu hơn cách của huynhbachkhoa23.

Không mất tính tổng quát, giả sử:

1\leqx \leqy\leqz\leq2
=> 1 - x \leq0 và 2 - x \geq0.
Do đó, [TEX](1-x)(2-x) \leq 0\Leftrightarrow2- 3x + x^2\leq0 (1)[/TEX]
Tương tự , ta có :
[TEX]2 - 3y + y^2 \leq0 (2)[/TEX]
[TEX]2-3z+z^2\leq0 (3)[/TEX]

Cộng (1) , (2) và (3) vế theo vế ta được:

[TEX]6 - 3(x+y+z) + x^2+y^2+z^2\leq0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]6 - 15 +x^2+y^2+z^2\leq0[/TEX]
=>[TEX]x^2+y^2+z^2\leq 9[/TEX]

Bạn nói bị ngược rồi, cách của mình thông dụng hơn. Cách của bạn chỉ giải được các bài toán đạt cực trị hoàn toàn tại biên. Ví dụ bài của bạn là $(2;2;1)$ hoàn toàn là tại biên. Nhưng với bài này thì sao:
Cho các số không âm $a,b,c$ thoả mãn $-1\le a,b,c\le 3$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$$a^2+b^2+c^2\le 11$$
Theo cách của bạn chắc chắn không giải quyết được bài toán này.
Còn một điều ở bài của bạn, chả cần giả sử cũng ra.

 

[leanboyalone]

Thế còn nếu bài tương tự như thế nhưng bảo chứng minh ≥ thì chứng minh sao?
Cách này tôi cũng quên luôn. Bỏ làm lâu quá.