Toán Chứng minh bất đẳng thức lớp 9 khó

[trunghieule2807]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{3}{2}[/tex]

Nếu thích thì các bạn cứ like nhé

 

[Viet Hung 99]

Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{3}{2}[/tex]

Ta có: $\dfrac{1}{a^{3}(b+c)}+\dfrac{1}{b^{3}(c+a)}+\dfrac{1}{c^{3}(a+b)} = \dfrac{b^2c^2}{a(b+c)}+\dfrac{c^2a^2}{b(c+a)}+\dfrac{a^2b^2}{c(a+b)}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:
$\dfrac{b^2c^2}{a(b+c)}+\dfrac{c^2a^2}{b(c+a)}+\dfrac{a^2b^2}{c(a+b)} \ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)} = \dfrac{ab+bc+ca}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô si 3 số ta có:
$ab+bc+ca \ge 3 \sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3$
$\Longrightarrow \dfrac{1}{a^{3}(b+c)}+\dfrac{1}{b^{3}(c+a)}+\dfrac{1}{c^{3}(a+b)} \ge \dfrac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $a=b=c=1$

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{3}{2}[/tex]

Nếu thích thì các bạn cứ like nhé

Cách khác cho bạn tham khảo:
Đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z} \\\Rightarrow xyz=1$
Thay vào biểu thức ta có:
[tex]\sum \frac{1}{\frac{1}{x^3}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})} \\=\sum \frac{1}{\frac{y+z}{x^3yz}} \\=\sum \frac{1}{\frac{y+z}{x^2}}(xyz=1) \\=\sum \frac{x^2}{y+z} \\\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)} \\=\frac{x+y+z}{2} \\\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2} \\=\frac{3}{2}[/tex]
Dấu '=' khi $a=b=c=1$