Chứng minh bất đẳng thức khó

[shuieshushu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1. Cho [TEX]a,b,c[/TEX] thoả mãn [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{ab}{\sqrt{c+ab}} + \frac{bc}{\sqrt{a+bc}} + \frac{ca}{\sqrt{b+ca}} \leq \frac{1}{2}[/TEX]
Bài 2. Cho [TEX]a,b,c > 0[/TEX]. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} < \sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}} [/TEX]

 

[viethoang1999]

1)

1)
Có: $ab+c=ab+c(a+b+c)=ab+bc+ca+c^2=(c+a)(c+b)$
\Rightarrow $\sum \dfrac{ab}{\sqrt{c+ab}}=\sum \dfrac{ab}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}=\sum \dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{c+a}}.\dfrac{ \sqrt{ab}}{ \sqrt{c+b}}\le \dfrac{1}{2}\sum \left ( \dfrac{ab}{c+a}+\dfrac{ab}{c+b}\right )=\dfrac{1}{2}$

 

[eye_smile]

2,$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b+a}}>2$ là BĐT quen thuộc .

Lại có:$\dfrac{a}{a+b} <\dfrac{a+c}{a+b+c}$

$\dfrac{b}{b+c}<\dfrac{b+a}{a+b+c}$

$\dfrac{c}{c+a}<\dfrac{c+b}{a+b+c}$

Cộng theo vế \Rightarrow $VT \le 2$

\Rightarrow đpcm

1,http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=392432

 

[shuieshushu]

2,$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b+a}}>2$ là BĐT quen thuộc .

Lại có:$\dfrac{a}{a+b} <\dfrac{a+c}{a+b+c}$

$\dfrac{b}{b+c}<\dfrac{b+a}{a+b+c}$

$\dfrac{c}{c+a}<\dfrac{c+b}{a+b+c}$

Cộng theo vế \Rightarrow $VT \le 2$

\Rightarrow đpcm

1,http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=392432

Bạn có thể chứng minh bất đẳng thức [TEX]\sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{b+a}} > 2[/TEX] giùm mình được không?
Cảm ơn bạn nhiều

 

[eye_smile]

$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\dfrac{a}{\sqrt{a(b+c)}} \ge \dfrac{2a}{a+b+c}$

Tương tự với 2 số còn lại \Rightarrow đpcm