Chứng minh bất đăng thức khó đây

[gameboykid]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho a\geqc\geq0;b\geqc.Chứng minh rằng:
*********************************************************************
[TEX]\sqrt[]{c(a-c)}+\sqrt[]{c(b-c)}\leq\sqrt[]{ab}[/TEX]
2)với xy khác 0 ta có:
[TEX]\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-\frac{2x}{y}-\frac{2y}{x}+3\geq0[/TEX]

 

[tuananh8]

Chém bài một trước!

Chia cả 2 vế cho [TEX]\sqrt[]{ab}[/TEX], ta cần chứng minh:
[TEX]\sqrt[]{\frac{c}{b}.\frac{a-c}{a}}+ \sqrt[]{\frac{c}{a}.\frac{b-c}{b}} \leq 1[/TEX]
Áp dụng BĐT cô-si: [TEX]\sqrt[]{xy} \leq \frac{x+y}{2}[/TEX], ta có:
[TEX]\sqrt[]{\frac{c}{b}.\frac{a-c}{a}} \leq \frac{1}{2}.(\frac{c}{b}+\frac{a-c}{a})=\frac{1}{2}(\frac{c}{b}-\frac{c}{a}+1)[/TEX].Tương tự:
[TEX]\sqrt[]{\frac{c}{a}.\frac{b-c}{b}} \leq \frac{1}{2}(\frac{c}{a}-\frac{c}{b}+1)[/TEX]
Cộng cả 2 vế của 2 BĐT trên ta có đpcm.

 

[kakashi168]

2)với xy khác 0 ta có:
[TEX]\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-\frac{2x}{y}-\frac{2y}{x}+3\geq0[/TEX]

đặt [TEX]\frac{x}{y}+\frac{y}{x} =a[/TEX]
BĐT tương đương [TEX](a-1)^2 \geq 0[/TEX] right
~~>dpcm

 

[tuananh8]

đặt [TEX]\frac{x}{y}+\frac{y}{x} =a[/TEX]
BĐT tương đương [TEX](a-1)^2 \geq 0[/TEX] right
~~>dpcm

Đồng ý cả 2 tay luôn.
[TEX]M=\frac{x^2}{y^2}+2+\frac{y^2}{x^2}-2(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+1=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1)^2[/TEX]

 

[sieuthamtu_sieudaochit]

1)Cho a\geqc\geq0;b\geqc.Chứng minh rằng:
[TEX]\sqrt[]{c(a-c)}+\sqrt[]{c(b-c)}\leq\sqrt[]{ab}[/TEX]

Áp dùng bdt Bunhiacopkia ta cóa:
[TEX](\sqrt[]{c(a-c)}+\sqrt[]{c(b-c)})^2 \le (c+a-c)(c+b-c)=ab[/TEX]
Từ đó suy ra đpcm.