Chứng minh bất đẳng thức+giải hệ

[phatthemkem]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) c/m rằng:$ (x+y)^2-xy+1\ge (x+y)\sqrt[]{3}$
2) tìm x,y thỏa mãn: $\begin{cases}(x+y)^4=6x^2y^2-215 \\ xy(x^2+y^2)=-78\end{cases}$

 

[vansang02121998]

$A=(x+y)^2-xy+1$

$A \ge (x+y)^2-\dfrac{(x+y)^2}{4}+1$

$A \ge \dfrac{3(x+y)^2}{4}+1$

$A \ge 2.\sqrt{\dfrac{3(x+y)^2}{4}.1}$

$A \ge 2.\sqrt{\dfrac{3(x+y)^2}{4}}$

$A \ge 2.\dfrac{\sqrt{3}(x+y)}{2}$

$A \ge \sqrt{3}(x+y)$

 

[vansang02121998]

$\left\{\begin{matrix} (x+y)^4=6x^2y^2-215\\xy(x^2+y^2)=-78 \end{matrix}\right.$

Dễ thấy $x=0$ hoặc $y=0$ không là nghiệm của hệ phương trình, ta có

hpt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^4=6x^2y^2-215\\(x+y)^2=\dfrac{2x^2y^2-78}{xy} \end{matrix}\right.$

Đặt $a=x+y;b=xy$, ta được

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^4=b^2-215\\a^2=\dfrac{2b^2-78}{b} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 6b^2-215=\dfrac{4b^4-312b^2+6084}{b^2}$

$6b^4-215b^2=4b^4-312b^2+6084$

$\Leftrightarrow 2b^4+97b^2-6084=0$

$\Leftrightarrow (b^2-36)(2b^2+169)=0$

$\Leftrightarrow b^2-36=0$

$\Leftrightarrow b=\pm 6$

- Trường hợp 1: $b=6 \Rightarrow a^2=-1$ ( loại )

- Trường hợp 2: $b=-6 \Rightarrow a^2=1 \Leftrightarrow a =\pm 1$

Ta được 2 hệ

$\left\{\begin{matrix} x+y=1\\xy=-6 \end{matrix}\right.$ và $\left\{\begin{matrix} x+y=-1\\xy=-6 \end{matrix}\right.$

Giải 2 hệ ta được $(x;y)=(2;-3);(-2;3);(3;-2);(-3;2)$