Chứng minh bất đẳng thức chứa căn bậc hai

[tysne3000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số dương x,y,z. Chứng minh bất đẳng thức:
$\sqrt[2]{\frac{x}{y+z}} + \sqrt[2]{\frac{y}{x+z}} + \sqrt[2]{\frac{z}{x+y}} >2$

 

[huynhbachkhoa23]

Có $\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}=\dfrac{x}{\sqrt{x(y+z)}} \ge \dfrac{2x}{x+y+z}$

Tương tự.

Suy ra: $\sum\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}\ge 2$

Đẳng thức xảy ra khi có một số bằng 0 và hai số còn lại bằng nhau (Không thoả mãn) $\to$ Không sảy ra đẳng thức.

Suy ra điều cần chứng minh

 

[tysne3000]

có thể viết kĩ hơn chỗ \frac{x}{\sqrt[2]{x*(y+z)}} \geq \frac{2x}{x+Y+z} (chưa hiểu lắm)

 

[toiyeu9a3]

$\sqrt{x(y + z)}$ \leq $\dfrac{x + y + z}{2}$ \Rightarrow $\dfrac{x}{\sqrt{x(y + z)}}$ \geq $\dfrac{2x}{x + y + z}$